Переходя к полярным координатам найти объем тела...

[ИС]

Переходя к полярным координатам найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями:
$z^2 = xy$
$x^2 + y^2 = a^2$

Что значит переходя к полярным координатам?

[meduza]

$$\begin{cases} x=r\cos\varphi\\ y=r\sin\varphi\\ z=z\end{cases} $$

P. S. В силу симметрии можно рассмотреть только четвертинку тела.
P. S. Якобиан не забудь.

[ИС]

Вот если бы была задана область и функция f(x,y) на этой области, то я бы взял двойной интеграл и нашел объем... А тут пока как-то непонятно (

[ИСН]

Область - это $x^2 + y^2 = a^2$, или даже меньше. А функция в каком-то родстве с $z^2 = xy$, подумайте об этом.

[ИС]

т.е. будет такой интеграл

$$\int\limits_{0}^a dr \int\limits_{0}^{2\pi}r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi) d\varphi $$

??

[ИСН]

Такой, да не такой. Вы интеграл от чего берёте по области?
И вообще, кстати, это не полярные координаты, а цилиндрические. Если Вам всё равно, можете двигаться дальше - правильный ответ любым путём один и тот же.

[AKM]

ИС в сообщении #275227 писал(а):

Вот если бы была задана область и функция f(x,y) на этой области, то я бы взял двойной интеграл и нашел объем...

Ну, выпишите явно, во что превратилась функция f(x,y), т.е. в данном случае z(x,y), при переходе к полярным координатам. Глядишь, ошибки и увидятся.

[ИС]

AKM
$z^2 = r^2 \sin(\varphi)\cos(\varphi)$... мда значит
$z(r, \varphi) = \pm\sqrt{r^2 \sin(\varphi)\cos(\varphi)}$
и

$$V = 2\int\limits_{0}^a dr \int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)} d\varphi $$

А чем координаты не полярные?
Область же в полярных координатах у меня $r \in [0,a], \varphi \in [0, 2\pi]$ ...
и на этой области задана функция $z(r, \varphi)$.

[AKM]

Увидев корень, мы сразу задумываемся: а не случается ли при каких-то углах под корнем отрицательное число?
Не вся область 0 --- $2\pi$ втянута в задачку!
Не дожидаясь vvvv с его картинками, прикидываем, как это всё выглядит.
Кто-то уже раньше намекал, что достаточно четвертинку фигурки обсчитать.

-- Сб дек 26, 2009 00:12:17 --

ИС в сообщении #275258 писал(а):

$$V = 2\int\limits_{0}^a dr \int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)} d\varphi $$

Также видим, что по размерности этот номер никак не проходит?
Запишите свой интеграл в декартовых координатах (коли Вам это раз плюнуть). Там будет $z\cdot dx\cdot dy$. Размерность --- объём. Вправе ли мы тупо заменять

$$\underbrace{dx\cdot dy}_{\text{площадь}}\qquad\text{на}\qquad\underbrace{dr\cdot d\varphi}_{\text{длина}}\quad???$$

-- Сб дек 26, 2009 00:17:19 --

А $r^2$ из-под корня никак не вытаскивается?

-- Сб дек 26, 2009 00:22:26 --

ИС в сообщении #275258 писал(а):

А чем координаты не полярные?

Полярная система $(r,\varphi)$ --- на плоскости. Дополненная третьей координатой z, она называется цилиндрической: $(r,\varphi,z)$.

[ИС]

Дошел пока только до того, что можно рассматривать область в которой $\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
Убедился в том что должно быть не $d\varphi dr$, а $rd\varphi dr$. И тогда получается, что
$ V = 4\int\limits_{0}^{a} dr \int\limits_{0}^{ \frac{\pi}{2}} r^2 \sqrt{\frac{sin(2\varphi)}{2}} d\varphi $

Вот навернякак что-то опять упустил.

[meduza]

ИС в сообщении #275501 писал(а):

Вот навернякак что-то опять упустил.

Совсем малость: у вас $\sin \varphi \cos \varphi$ превратилось в $\sin 2 \varphi$, двойку потеряли. В остальном верно.

(Оффтоп)

Интергал там нехороший, через элементарные функции не выражается.

[ИС]

meduza
Есть. исправил.
Можно ли сказать что в этой задаче я нашел нужный объем именно переходя к полярным координатам?
в итоге же получилась цилиндрическая система координ? Как сделать так чтобы было решение именно с переходом в полярную систему координат?

[meduza]

ИС в сообщении #275507 писал(а):

в итоге же получилась цилиндрическая система координ?

Цилиндрическая -- та же полярная, только с $z$. Часто цилиндрическую называют полярной.

[ИСН]

Но сферическую систему тоже часто называют полярной. Я бы сказал, даже чаще.

[ИС]

как так не вырожается О_о это же задача из демидовича...
мда.. и в ответе какой-то символ незнакомый =(
ответ:$ \frac{4}{3\sqrt{\pi}}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)a^3$
Что это такое $\Gamma$ ???