У Вас всё очень мудрёно. Мне, учившемуся всего лишь по специальности "Модерирование научных форумов" на кафедре "Поддержание порядка в интернете" факультета "Поддержание общественного порядка" высшей школы милиции, это не под силу. Лезть в Корна за какими-то якобианами сферы? Для такой простой задачки? No!
Вы не ответили на простой вопрос: пределы интегрирования соответcтвуют z, а переменная интегрирования --- r. То есть, может и ответили, но больно мудрёно. Типа ни понил.
Ваше

я переписываю в виде

, вводя, чтоб не путаться, другое значение и обозначение для этого угла, который меняется от

до

, когда z меняется от

до

. Так мне привычней. К Вашему углу легко перейти, но мой угол, кажется, ещё и более общепринят.
Рассмотрим шаровой слой, когда z меняется от

до

. При этом его площадь равна

, а искомая площадь всего слоя ---

.
Рассмотрим шаровой слой, когда z меняется от

до

. При этом

меняется до

, где

(ну, поскольку

, т.е.

, итд). Разберёмся с этим

-слоем: вытянем его в прямоугольничек длины

и высоты

. Площадь его (прямоугольничка) есть

!
О, как просто! Тогда

Оказывается, разбивая сферу на слои одинаковой высоты, мы получаем куски одинаковой площади! (Кажется, я об этом где-то когда-то читал, как о примечательном факте. Но забыл. Спасибо, что напомнили).
Добавлено через часок. То, что я так легко и непринуждённо вытянул шаровой слой в прямоугольничек, есть, видимо, недостаток милицейского образования, и должно быть объектом и результатом интегрирования по другой переменной,
.