Современная математика с точки зрения древней

[Профессор Снэйп]

Вот если сесть на машину времени и отправиться в прошлое встречаться с разными великими людьми... Интересно, удалось бы научить Ньютона и Лейбница основам современного матанализа хотя бы на уровне среднего первокурсника? Объяснить Декарту теорию квадратичных форм и классификацию поверхностей второго порядка? Доказать Евклиду, что пятый постулат не выводится из остальных четырёх?..

[nestoklon]

Думаю, это бы сильно напоминало непростые отношения Эйнштейна и квантовой механики. Органическое неприятие, интересные тонкие моменты, которые пропустили коллеги, которые гораздо лучше разбирающиеся в предмете.
Смирение через несколько лет, осознав что всё это правда.

Учитывая качество первокурсников, этим объяснить удалось бы. Без сомнения. Они бы 90% сами вывели по дороге.

[age]

Нет. Не удалось бы. Дело в том, что современная математика во многом отличается от древней теми положениями, к которым пришли "путем согласия". Например, тот же Евклид или Диофант громко бы посмеялись над комплексными числами и мнимой единицей! И жизни не хватило бы их убедить, что комплексные числа нужны.

Но, Диофант бы с раскрытым ртом слушал о методе бесконечного спуска и теореме Ферма. Подпрыгнул бы от восторга, узнав что всякое простое число $4p+1$ есть сумма двух квадратов.

[neverland]

Наверное математики прошлого были бы потрясены удобством современной символики (как-то довелось почитать Кардано, так вот словесное описание уравнения на шести листах было делом вполне привычным).

[Yarkin]

age в сообщении #275376 писал(а):

Не удалось бы. Дело в том, что современная математика во многом отличается от древней теми положениями, к которым пришли "путем согласия". Например, тот же Евклид или Диофант громко бы посмеялись над комплексными числами и мнимой единицей! И жизни не хватило бы их убедить, что комплексные числа нужны.

Школа Пифагора занималась поиском изображения числа в их понимании. Сперва в виде точек, потом в виде черточек, что близко к геометрической трактовке комплексного числа. Он бы удивился, что спустя две тысячи лет, математики используют только одномерные и плоские числа. А вот будущеее поколение посмеется над нашим примитивным пониманием математики, оторвавшейся от реального мира.

[Профессор Снэйп]

neverland в сообщении #275449 писал(а):

Наверное математики прошлого были бы потрясены удобством современной символики (как-то довелось почитать Кардано, так вот словесное описание уравнения на шести листах было делом вполне привычным).

Ага У них там $ax^3 = bx + c$ и $ax^3 + bx = c$ --- разные уравнения, потому что они отрицательных чисел не знали.

-- Вс дек 27, 2009 06:55:28 --

У нас на третьем курсе в учебнике по функану фигурировало такое утверждение.

Теорема Пифагора. Если $x$ --- элемент гильбертова простанства и для некоторой ортонормированной системы $\mathcal{E} \subseteq H$ выполнено $x = \sum_{e \in \mathcal{E}} \lambda_e e$, то $\| x \|^2 = \sum_{e \in \mathcal{E}} |\lambda_e|^2$.

Подозреваю, что бедный Пифагор пришёл бы в ужас при виде этого Особенно если бы ему расшифровали, что там понимается под суммой.

[sergey1]

Профессор, даже не сомневайтесь, они все поняли бы с полунамека!
Вы назвали лучших из лучших, а у нас получается это троишникам разжевать.

Единственная трудность - добиться их внимания. Стали бы они Вас слушать!?

[Профессор Снэйп]

sergey1 в сообщении #275638 писал(а):

Стали бы они Вас слушать!?

Мне кажется, что как раз они бы и стали. Чем умнее человек, тем меньше в нём апломба и спеси.

Не раз замечал, что когда в университете преподают хорошие специалисты, они никогда не стесняются реагировать на студенческие замечания и искать ошибки в своих выкладках. А те, кто берётся преподавать, сам ничерта не понимая, по малейшему поводу дует щёки, ссылается на малоизвестные теоремы, загромождает речь разными сложносочинёнными терминами...

А вот насчёт того, что сразу бы поняли... Не факт, всё-таки парадигмы разные... Наши троечники, как не крути, всё-таки наши и в нашей культуре воспитаны. Тот же Ньютон мог в уме прикинуть, что закон обратных квадратов даёт эллипсы в качестве траекторий планет, но теорема о существовании и единственности решения задачи Коши до него могла бы просто не дойти, сама постановка вопроса показалась бы надуманной.

[Коровьев]

То есть, можно ли мальчёнку Диофанта в нашем времени вырастить, воспитать и обучить современной математике? Несомненно можно. И будет лучше троечников. Но когда даже гений в возрасте, то кардинально перестроить мышление, освоить объём новых знаний вряд ли возможно. Такой эксперимент по перемещению в ближайшем обозримом будущем вряд ли будет возможен. Но можно виртуально "переместиться" к Диофанту и попробовать решить одну из его задач, пользуясь только его знаниями , с помошью не символов, а слов. Думаю, это тож вряд ли возможно. Ведь, нужно оперировать словами, а не символоми уже в самом нашем сознании. Голове от этого можно нанести сильный урон.

[Ales]

Наверное, задачи были в конкретных числах и фигурах, оперировали этими числами и фигурами, а не словами. Словами записывали общие методы решения задач.

-- Вс дек 27, 2009 21:35:26 --

В.И. Арнольд написал отличную книгу про Ньютона и математику 17 века.
Отсюда ее можно скачать в формате djvu:
http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/arnold/ngbg.htm

Там есть и про теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения.
В учебнике Арнольда по обыкновенным дифференциальным уравнениям есть Теорема "о выпрямлении векторного поля". Когда я был студентом, я так и не понял к чему она. Сейчас понимаю.

-- Вс дек 27, 2009 21:56:51 --

Арнольд пишет, что в 17 веке некоторые математики владели анализом лучше, чем наши современники.
Думаю тогдашним были бы интересны линейная алгебра, ряды Фурье, комплексные функции, вычеты и формулы типа $e^{i\phi}=cos\phi+isin\phi$. А вот формальное обоснование анализа могло бы и не заинтересовать.
В начале 20 века была мода на теорию множеств и теорию функций действительного переменного,
с тех пор в России так и подают математику: теория множеств и теория функций.
Конечно это надо знать и преподавать, но не в таком же объеме. Есть же и другие разделы, не менее полезные.

[Профессор Снэйп]

Ales в сообщении #275756 писал(а):

А вот формальное обоснование анализа могло бы и не заинтересовать.

Вот и я про то же. Не доросла математическая культура в те времена ещё до такого!

Ales в сообщении #275756 писал(а):

В начале 20 века была мода на теорию множеств и теорию функций действительного переменного,
с тех пор в России так и подают математику: теория множеств и теория функций.
Конечно это надо знать и преподавать, но не в таком же объеме. Есть же и другие разделы, не менее полезные.

Пардон, а что, по Вашему, надо сейчас преподавать? Что ныне в моде?

По-моему, за последние 100 лет никакой смены парадигм в математике не произошло. Теория множеств и теория функций по прежнему наиболее важны.

Смен парадигмы было две: появление дифференциально-интегрального исчисления и появление теории множеств. С первой связан второй кризис оснований математики, со второй --- третий. Ничего столь же революционного в XX веке не наблюдалось.

[Ales]

Профессор Снэйп в сообщении #275962 писал(а):

Пардон, а что, по Вашему, надо сейчас преподавать? Что ныне в моде?

Дело вкуса. Одно всегда будет в ущерб другому.

Я вспоминаю те курсы, которые я прослушал когда-то на математическом потоке мехмата.
Нам 4 семестра читали мат анализ, 2 - функциональный анализ, 1 - интеграл и меру Лебега.
Если бы я составлял программу, я бы подсократил эти предметы, зато добавил бы Небесную механику, Общую теорию относительности, Алгебраическую геометрию, Римановы поверхности, которые нам не читали.

Теория функций действительного переменного нужна для обоснования применения рядов Фурье в нескольких задачах физики. А физику мы вообще почти не изучали: 1 семестр релятивистской электродинамики и 1 семестр квантовой механики.

Но уровень моего понимания на 1 и 2-ом курсе был никаким, можно сказать, что я ничего не понимал. Поэтому, возможно все равно, что студенту читать в начале обучения, пока он не привыкнет и и к нему не прийдет понимание. А понимание приходит с годами, только после опыта исследований и самостоятельной работы.

[Профессор Снэйп]

Ales в сообщении #276086 писал(а):

добавил бы Небесную механику, Общую теорию относительности...

Пардон, Вы на математическом потоке это хотели бы услышать? Зачем? Поступали бы тогда уж на механику, или сразу на физфак

У нас в НГУ беда: на мехмате слишком много механики (спошные среды, жидкости и газы и прочая муть) в ущерб алгебре и теории чисел! Вот где катастрофа!!! Когда мы учились, у нас этого перекоса не было. В последнии годы началось

На математике в первую очередь надо, помимо матана, читать хорошую алгебру. В частности, теория Галуа просто обязана присутствовать на втором курсе. В ангеме должна обязательно быть глава про проективную геометрию. В курсе функана должно быть как можно больше абстрактных вещей. Ну и, конечно, логика с теорией вычислимости должны быть "на уровне".

Как бы, интересно, те же Ньютон с Лейбницев восприняли бы теорему Гёделя о неполноте? Восхитились бы или сочли бы туфтой?

-- Вт дек 29, 2009 02:37:08 --

Ales в сообщении #276086 писал(а):

Теория функций действительного переменного нужна для обоснования применения рядов Фурье в нескольких задачах физики.

Это физика нужна для того, чтобы было где применять теорию функций действительного переменного!

[Circiter]

2Профессор Снэйп

Цитата:

Ничего столь же революционного в XX веке не наблюдалось.

А как же бурное развитие вычислительной математики и численных методов? Да и в самой математике что-то все равно должно было измениться; к примеру, стал преобладать аксиоматический подход... Я не прав?

Думаю, технический прогресс, развитие физики и появление вычислительной техники сильно изменило математику, даже если это пока и не заметно...

Цитата:

С первой связан второй кризис оснований математики

А что же было первым кризисом основ?

[Профессор Снэйп]

Circiter в сообщении #276198 писал(а):

А как же бурное развитие вычислительной математики и численных методов? Да и в самой математике что-то все равно должно было измениться; к примеру, стал преобладать аксиоматический подход... Я не прав?

Этот аксиоматический подход как в начале XX века преобладал, так и сейчас преобладает. И вычислительная математика ничего принципиально нового в саму математику не добавила. Принципиально новых методов за последние 100 лет в математике не появилось.

Circiter в сообщении #276198 писал(а):

А что же было первым кризисом основ?

Первый кризис --- пифагорейский. Это когда древние греки открыли, что сторона квадрата и его диагональ несоизмеримы. Этот факт разрушил их хрупкие умишки.