Вопрос по теории равномерной сходимости

[valiko]

Добрый вечер.
Задача: исследовать на равномерную сходимость интеграл (при $\alpha \in (0, 2)$)

$$\int\limits_0^1 \sin{\frac{1}{x}} \frac{dx}{x^\alpha}$$

Дважды интегрируя по частям получаю:
$I_1 = -\cos{1} + (\alpha - 2)\sin{1} + (\alpha - 2)(\alpha - 3)\int\limits_0^1 \sin{\frac{1}{x}} \frac{dx}{x^{\alpha - 2}}$
Почему из равномерной сходимости получившегося интеграла будет следовать равномерная сходимость исходного?

[RIP]

valiko в сообщении #275209 писал(а):

Почему из равномерной сходимости получившегося интеграла будет следовать равномерная сходимость исходного?

Нипочему. Исходный интеграл не сходится равномерно.

[Полосин]

Сделайте замену $t=1/x$.

(Оффтоп)

Исправьте девиз. Правильно: Черт-те что и сбоку бантик.

[valiko]

RIP, почему не сходится?
Полосин, сделать то я сделаю, оно будет сходиться равномерно. Опять тот же вопрос: почему из равномерной сходимости нового следует равн. сходимость старого?

[Полосин]

valiko в сообщении #275232 писал(а):

сделать то я сделаю, оно будет сходиться равномерно.

Почему? Доказательство?

(Оффтоп)

P.S. Частица -то пишется через дефис: сделать-то я сделаю.

[valiko]

Полосин, да, доказательство. Просто на замены есть контр-пример. Возьмем интеграл Дирихле: $\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin{\alpha x}}{x}\,dx$. На множестве $\alpha \in [0, +\infty)$ он равномерно не сходится. Делаем замену: $\alpha x = t$, получаем $\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin{t}}{t}\,dt$, который равномерно сходится для любого альфа.

(Оффтоп)

P.S. За частицу благодарю, но я знаю, как она пишется.

[Полосин]

Мне кажется, вы не совсем понимаете, что такое равномерная сходимость. Это - малость остатка, т.е., в данном случае, $\int_R^{+\infty}$ при $R\rightarrow+\infty$. Взаимно-однозначные замены переменных, не зависящие от параметра, делать можно, поскольку они сохраняют малость остатка. Рассмотрите остаток интеграла - и вы поймете, в чем вы заблуждаетесь.

(Оффтоп)

P.S. Контрпример пишется слитно.

[valiko]

Малость остатка не меняется... Благодарю. Кажется, начинаю понимать.
P.S. Попутал с контр-адмиралом.

(Оффтоп)

-- Сб дек 26, 2009 00:34:07 --

Кстати, Полосин, в "Это малость остатка" тире не ставится.