2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 21:59 
Аватара пользователя


27/05/09
21
Добрый вечер.
Задача: исследовать на равномерную сходимость интеграл (при $\alpha \in (0, 2)$) $$\int\limits_0^1 \sin{\frac{1}{x}} \frac{dx}{x^\alpha}$$

Дважды интегрируя по частям получаю:
$I_1 = -\cos{1} + (\alpha - 2)\sin{1} + (\alpha - 2)(\alpha - 3)\int\limits_0^1 \sin{\frac{1}{x}} \frac{dx}{x^{\alpha - 2}}$
Почему из равномерной сходимости получившегося интеграла будет следовать равномерная сходимость исходного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
valiko в сообщении #275209 писал(а):
Почему из равномерной сходимости получившегося интеграла будет следовать равномерная сходимость исходного?
Нипочему. Исходный интеграл не сходится равномерно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 22:25 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Сделайте замену $t=1/x$.

(Оффтоп)

Исправьте девиз. Правильно: Черт-те что и сбоку бантик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 22:56 
Аватара пользователя


27/05/09
21
RIP, почему не сходится?
Полосин, сделать то я сделаю, оно будет сходиться равномерно. Опять тот же вопрос: почему из равномерной сходимости нового следует равн. сходимость старого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 23:02 
Заслуженный участник


26/12/08
678
valiko в сообщении #275232 писал(а):
сделать то я сделаю, оно будет сходиться равномерно.

Почему? Доказательство?

(Оффтоп)

P.S. Частица -то пишется через дефис: сделать-то я сделаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 23:10 
Аватара пользователя


27/05/09
21
Полосин, да, доказательство. Просто на замены есть контр-пример. Возьмем интеграл Дирихле: $\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin{\alpha x}}{x}\,dx$. На множестве $\alpha \in [0, +\infty)$ он равномерно не сходится. Делаем замену: $\alpha x = t$, получаем $\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin{t}}{t}\,dt$, который равномерно сходится для любого альфа.

(Оффтоп)

P.S. За частицу благодарю, но я знаю, как она пишется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 23:15 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Мне кажется, вы не совсем понимаете, что такое равномерная сходимость. Это - малость остатка, т.е., в данном случае, $\int_R^{+\infty}$ при $R\rightarrow+\infty$. Взаимно-однозначные замены переменных, не зависящие от параметра, делать можно, поскольку они сохраняют малость остатка. Рассмотрите остаток интеграла - и вы поймете, в чем вы заблуждаетесь.

(Оффтоп)

P.S. Контрпример пишется слитно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории равномерной сходимости
Сообщение25.12.2009, 23:29 
Аватара пользователя


27/05/09
21
Малость остатка не меняется... Благодарю. Кажется, начинаю понимать.
P.S. Попутал с контр-адмиралом.

(Оффтоп)

-- Сб дек 26, 2009 00:34:07 --

Кстати, Полосин, в "Это малость остатка" тире не ставится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group