2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение25.12.2009, 21:23 


23/05/09
49
$$\int\limits_{0}^{1} x^{\alpha} \sin \frac{1}{x+\sin \frac{1}{x}}\,dx$$
Геометрически не очень удобно соображать, поэтому после очевидных замен интеграл принял такой вид:
$$\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\,dt$$
Ну, разумеется, оценивая абсолютную величину сверху, имеем, что интеграл сходится абсолютно при $\alpha>-1$.

Затем: $\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\,dt = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{y_1}^{y_2} \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\,dt$, причем $y_1$ и $y_2$ будем выбирать такие, что подынтегральная функция в них обращается в ноль, а между ними не меняет знак.
Для $\alpha \le -2$ справедлива оценка для абсолютной величины общего члена ряда:
$\int\limits_{y_1}^{y_2} \left| \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\right|\,dt \ge \int\limits_{y_1}^{y_2} \left| \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\right|\,dt$,
откуда получаем, что общий член не стремится к нулю, а значит интеграл вовсе не сходится при $\alpha \le -2$.

Подскажите пожалуйста, как мне рассуждать для $-2 <\alpha \le -1$? Интуитивно понятно, что интеграл там сходится условно, но не получается строго доказать, ни расходимость абсолютной величины, ни сходимость самого интеграла. Внешний синус ведет себя крайне безобразно, при достаточно больших $t$ функция (этот внешний синус) становится "почти периодической", но всё же не периодическая. Поэтому строгим образом никакие признаки здесь использовать не получится.
Жду помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение25.12.2009, 22:10 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Примерный ход рассуждений: пусть $t_n$ - последовательные положительные корни уравнения $1+t\sin t=0$, тогда $t_n=\pi n+(-1)^n/(\pi n)+...$. Далее,
$$
I=\int_1^{+\infty}t^{-\alpha-2}\sin\frac{t}{1+t\sin t}dt\sim\sum_{n=1}^{+\infty}I_n,
$$
$$
I_n=\int_0^{t_{n+1}-t_n}(t_n+s)^{-\alpha-2}\sin\frac{t_n+s}{1+(t_n+s)\sin(t_n+s)}ds\sim
$$
$$
\sim(\pi n)^{-\alpha-2}\int_0^{t_{n+1}-t_n}\sin\frac{t_n+s}{t_n\cos t_n\sin s}ds\sim\frac{(-1)^n}{(\pi n)^{\alpha+2}}\int_0^{\pi}\sin\frac1{\sin s}ds\sim C\frac{(-1)^n}{n^{\alpha+2}}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение25.12.2009, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
$\sim,\,\simeq$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение25.12.2009, 22:20 
Заслуженный участник


26/12/08
678
ИСН, спасибо, исправил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group