Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость

[MTV]

$$\int\limits_{0}^{1} x^{\alpha} \sin \frac{1}{x+\sin \frac{1}{x}}\,dx$$

Геометрически не очень удобно соображать, поэтому после очевидных замен интеграл принял такой вид:

$$\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\,dt$$

Ну, разумеется, оценивая абсолютную величину сверху, имеем, что интеграл сходится абсолютно при $\alpha>-1$.

Затем: $\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\,dt = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{y_1}^{y_2} \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\,dt$, причем $y_1$ и $y_2$ будем выбирать такие, что подынтегральная функция в них обращается в ноль, а между ними не меняет знак.
Для $\alpha \le -2$ справедлива оценка для абсолютной величины общего члена ряда:
$\int\limits_{y_1}^{y_2} \left| \frac{1}{t^{\alpha+2}} \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\right|\,dt \ge \int\limits_{y_1}^{y_2} \left| \sin \frac{1}{\frac{1}{t}+\sin t}\right|\,dt$,
откуда получаем, что общий член не стремится к нулю, а значит интеграл вовсе не сходится при $\alpha \le -2$.

Подскажите пожалуйста, как мне рассуждать для $-2 <\alpha \le -1$? Интуитивно понятно, что интеграл там сходится условно, но не получается строго доказать, ни расходимость абсолютной величины, ни сходимость самого интеграла. Внешний синус ведет себя крайне безобразно, при достаточно больших $t$ функция (этот внешний синус) становится "почти периодической", но всё же не периодическая. Поэтому строгим образом никакие признаки здесь использовать не получится.
Жду помощи.

[Полосин]

Примерный ход рассуждений: пусть $t_n$ - последовательные положительные корни уравнения $1+t\sin t=0$, тогда $t_n=\pi n+(-1)^n/(\pi n)+...$. Далее,

$$ I=\int_1^{+\infty}t^{-\alpha-2}\sin\frac{t}{1+t\sin t}dt\sim\sum_{n=1}^{+\infty}I_n, $$

$$ I_n=\int_0^{t_{n+1}-t_n}(t_n+s)^{-\alpha-2}\sin\frac{t_n+s}{1+(t_n+s)\sin(t_n+s)}ds\sim $$

$$ \sim(\pi n)^{-\alpha-2}\int_0^{t_{n+1}-t_n}\sin\frac{t_n+s}{t_n\cos t_n\sin s}ds\sim\frac{(-1)^n}{(\pi n)^{\alpha+2}}\int_0^{\pi}\sin\frac1{\sin s}ds\sim C\frac{(-1)^n}{n^{\alpha+2}}. $$

[ИСН]

$\sim,\,\simeq$

[Полосин]

ИСН, спасибо, исправил.