Доказать сходимость ряда

[MMM-2000]

Доказать что ряд сходится :

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}b_{n}} $$

если:
1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_{n}}$ -сходится просто
2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}-a_{n+1})$ -сходится абсолютно

в принципе из второго условия понятно что последовательность $a_{n}$ - сходится.
А что по сути нужно делать не знаю...
Подскажите идейку пожалуйста.

[Хорхе]

Пишем (полагая $a_0=0$) $a_n = \sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})$ и меняем порядок суммирования.

[MMM-2000]

И как от сюда вытекает сходимость исходного ряда?

з.ы. Из этого только следует что $a_{n}$ - сходится, что мне известно. =)

-- Пт дек 25, 2009 19:59:32 --

Обдумал еще раз и всеравно не понял.
Да мы так выражаем $a_{n}$ но как можно сменить порядок суммирования? Внутренняя сумма зависит от счетчика ряда.

[RIP]

Это признак Абеля сходимости рядов, тот самый, который часто формулируют для монотонной посл-ти $a_n$. Соответственно, можно либо посмотреть в учебнике док-во, либо свести к монотонному случаю, представив $a_n$ в виде суммы монотонных ограниченных последовательностей (в случае вещественных $a_n$):

$$a_n=\sum_{k=1}^{n-1}|a_k-a_{k+1}|+\Bigl(a_n-\sum_{k=1}^{n-1}|a_k-a_{k+1}|\Bigr).$$

Случай комплексных $a_n$ сводится к вещественному рассмотрением их вещественных и мнимых частей.

[MMM-2000]

Спасибо, большое я понял!
Как же сам не додумался. =)