2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 19:21 


09/12/09
34
Доказать что ряд сходится :
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}b_{n}} $$

если:
1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_{n}}$ -сходится просто
2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}-a_{n+1})$ -сходится абсолютно

в принципе из второго условия понятно что последовательность $a_{n}$ - сходится.
А что по сути нужно делать не знаю...
Подскажите идейку пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Пишем (полагая $a_0=0$) $a_n = \sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})$ и меняем порядок суммирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 19:42 


09/12/09
34
И как от сюда вытекает сходимость исходного ряда?

з.ы. Из этого только следует что $a_{n}$ - сходится, что мне известно. =)

-- Пт дек 25, 2009 19:59:32 --

Обдумал еще раз и всеравно не понял.
Да мы так выражаем $a_{n}$ но как можно сменить порядок суммирования? Внутренняя сумма зависит от счетчика ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Это признак Абеля сходимости рядов, тот самый, который часто формулируют для монотонной посл-ти $a_n$. Соответственно, можно либо посмотреть в учебнике док-во, либо свести к монотонному случаю, представив $a_n$ в виде суммы монотонных ограниченных последовательностей (в случае вещественных $a_n$): $$a_n=\sum_{k=1}^{n-1}|a_k-a_{k+1}|+\Bigl(a_n-\sum_{k=1}^{n-1}|a_k-a_{k+1}|\Bigr).$$
Случай комплексных $a_n$ сводится к вещественному рассмотрением их вещественных и мнимых частей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 20:29 


09/12/09
34
Спасибо, большое я понял!
Как же сам не додумался. =)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group