2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 19:21 
Доказать что ряд сходится :
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}b_{n}} $$

если:
1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_{n}}$ -сходится просто
2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}-a_{n+1})$ -сходится абсолютно

в принципе из второго условия понятно что последовательность $a_{n}$ - сходится.
А что по сути нужно делать не знаю...
Подскажите идейку пожалуйста.

 
 
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 19:32 
Аватара пользователя
Пишем (полагая $a_0=0$) $a_n = \sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})$ и меняем порядок суммирования.

 
 
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 19:42 
И как от сюда вытекает сходимость исходного ряда?

з.ы. Из этого только следует что $a_{n}$ - сходится, что мне известно. =)

-- Пт дек 25, 2009 19:59:32 --

Обдумал еще раз и всеравно не понял.
Да мы так выражаем $a_{n}$ но как можно сменить порядок суммирования? Внутренняя сумма зависит от счетчика ряда.

 
 
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 20:12 
Аватара пользователя
Это признак Абеля сходимости рядов, тот самый, который часто формулируют для монотонной посл-ти $a_n$. Соответственно, можно либо посмотреть в учебнике док-во, либо свести к монотонному случаю, представив $a_n$ в виде суммы монотонных ограниченных последовательностей (в случае вещественных $a_n$): $$a_n=\sum_{k=1}^{n-1}|a_k-a_{k+1}|+\Bigl(a_n-\sum_{k=1}^{n-1}|a_k-a_{k+1}|\Bigr).$$
Случай комплексных $a_n$ сводится к вещественному рассмотрением их вещественных и мнимых частей.

 
 
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение25.12.2009, 20:29 
Спасибо, большое я понял!
Как же сам не додумался. =)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group