Трудности с формулировкой обратной теоремы

[Sasha2]

Вот есть такая (прямая) теорема
Теорема: Если неизвестно лежит ли вписанная окружность внутри или вне четырехугольника, в который она вписана, то всегда сумма двух надлежащих образом выбранных сторон этого четырехугольника будет равна сумме двух других его сторон.

Трудности при обратной теореме вызывают вот эти слова НАДЛЕЖАЩИМ ОБРАЗОМ ВЫБРАННЫХ.
В обратной теореме так уже не сформулируешь.
Как же в этом случае сформулировать обратную теорему?

[meduza]

Sasha2 в сообщении #274477 писал(а):

лежит ли вписанная окружность внутри или вне четырехугольника

Я наверно отстал от современной геометрии, но разве может вписанная окружность лежать вне четырехугольника?

(Оффтоп)

Я знаю другие две теоремки:
1. Если у выпуклого 4-угольника суммы противоположных сторон равны, то он имеет вписанную окружность.
2. Если у выпуклого 4-угольника суммы противоположных углов равны (т. е. равны $\pi$), то он имеет описанную окружность.

[AD]

Что-то такое недавно обсуждали совсем. Сейчас покопаю.

-- Ср дек 23, 2009 19:55:21 --

Sasha2, так Вы неделю назад это спрашивали уже.

-- Ср дек 23, 2009 19:57:26 --

А, вот где обсуждалось.

[Sasha2]

Да обсуждать то обсуждали, но там ПЕРВАЯ ПОЛВОИНА ЗАДАЧИ.
А вот вторая так и не поддалась.

Конечно вписанная окружность может лежать вне четырехугольника, просто в этом случае она называется ВНЕВПИСАННОЙ, то же самое, как и в случае окружности, вневписанной в четырехугольник.

Так вот здесь есть всего
Два типа четырехугольников, у которых вписанные окружности лежат внутри них.
а) Это выпуклые (в них касание идет по сторонам)
б) Невыпуклые (в них касания идет по двум сторонам, тем благодаря которым четрехугльник выпуклый и по продолжениям двух других сторон, благодаря которым четрехугольник невыпуклый )

Также есть три типа четырехугольников, в которых, вписанная окружность лежит вне их
а) Выпуклые - касание продолжениями всех четырех сторон
б) Невыпуклые (в них касания идет по двум сторонам, тем благодаря которым четрехугольник невыпуклый и по продолжениям двух других сторон)
в) Несобственные (В них касание идет по пересекающимся сторонам и по продолжениям двух других сторон)

[neverland]

Зачем путать народ, пишите вневписанная окружность (она так и называется, чтобы отличить ее от вписанной)

[Sasha2]

Это отчасти верно.
Ну во первых, Вам просто кажется пока, что случай вроде бы схож с треугольным, а все таки не совсем.

Дело в том, что при формулировке теорем для этого случая не всегда ЗАРАНЕЕ ИЗВЕСТНО, к какому тиру относится вписанная окружность.
Поэтому, проще встать на общую точку зрения, считая, что линией вписанной в многоугольник такую линию, которая касается всех его сторон, не конкретизируя область, в которой лежит эта линия. В этом смысле можно говорить вообще о линии, вписанной вообще в незамкнутую ломаную линию.

Тем более даже в случае вписанной окружности уже случай несколько иной.
Например, что вообще подразумевать под вневписанной окружностью. Ту кторая касается продолжений сторон или ту, которая лежит вне многоугольника.
Также и в случае вписанной окружности, что подразумевать под ней, ту, которая касается всех сторон (а не продолжений) или ту, которая лежит внутри.

В этом четырехугольный случай сильно отличается от треугольного.

[Sonic86]

Sasha2 писал(а):

НАДЛЕЖАЩИМ ОБРАЗОМ ВЫБРАННЫХ

Квантор существования мешается.
Я не очень уверен в том, что понимаю что такое "обратная теорема"...
Если теорема Т имеет вид $A \to B$, то обратной называется теорема О $B \to A$.
Писать так - глупо конечно. Но нам так это определяли.
Можно восстановить неявные кванторы:
Т: $(\forall x_1)...(\forall x_n)A(x_1,...,x_n) \to B (x_1,...,x_n)$.
О: $(\forall x_1)...(\forall x_n)B(x_1,...,x_n) \to A (x_1,...,x_n)$.
Можно конечно тупо обобщить это преобразование на утверждения с кванторами существования, но по-моему, будет лажа.
Возьмем для примера Т$(\exists x)(A(x) \to B(x))$. Пусть $x$ пробегает конечное множество значений $x_1,...,x_n$. Тогда эта формула эквивалентна
$(\neg A(x_1) \vee B(x_1)) \vee ... \vee (\neg A(x_n) \vee B(x_n))$ в ИВ.
Так же можно расписать и $(\exists x)(B(x) \to A(x))$. Теперь 2 полученные формулы надо проверить на соотношение "одно обратно другому" в ИВ. Действительно получается лажа.
$(\neg A(x_1) \vee B(x_1)) \vee ... \vee (\neg A(x_n) \vee B(x_n)) \equiv$
$(\neg A(x_1) \vee ... \vee \neg A(x_n)) \vee (B(x_1) \vee B(x_n)) \equiv$
О: $(\forall x) A(x) \to (\exists x)B(x)$.
Видимо это и следует считать обратной теоремой для утверждений типа $(\exists x)(A(x) \to B(x))$. Надо бы с простыми примерами сверить...

-- Чт дек 24, 2009 08:13:41 --

Ой, не, ужос какой-то , я отказываюсь...

[Sasha2]

По идее эта теорема должна звучать так:

У всякого четырехугольника, у которого сумма двух каких-либо его сторон равна сумме двух других его сторон, имеется вписанная окружность (лежащая внутри или вне этого четырехугольника, смотря по тому являются ли эти две стороны противоположными или смежными).

Хотя не очень уверен, что эта теорема справедлива. Ну или справедлива, но не вся. Попробую подоказывать.