2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 11:42 


25/12/08
184
$a_n=\frac {1} {n(2n+3)}$
Методом "расписывания" частичных сумм он не решается, т.е мы вынесем 2 , но в скобке получится ненатуральное число

Хорошая идея рассмотреть функцию вида $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n x^{2n+3}$
в единице значение совпадает с суммой нашего ряда

дифференцируем $f(x)$, причесываем и заменяем $x^2=y$ ,таким образом $f'(x)=y\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n} {n}$
Обозначаем $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n} {n}=Q(y)$ , дифференцируем $Q(y)$, получаем прогрессию ,сумма равна $\frac {1} {1-y}$ / Затем интегрируем, $yQ(y)$ легко находится и равен $-x^2ln|1-x^2|=f'(x)$ а вот дальше интеграл не очень-то берется, даже в предельном смысле!

http://integrals.wolfram.com/index.jsp Вольфрам берет его, но без модуля аргумента логарифма, и подстановки x=0,1 ничего не дают (ф-ия не существует)

Ваши предложения? ещё раз сформулирую задачу Найти сумму ряда с членом Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 11:47 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
Интегралы $\int x^n \ln x dx$ берутся по частям, а $ \ln (1-x^2) = \ln (1-x) + \ln (1+x)$.

А насчет того, что расписывание частичных сумм не поможет, я что-то не совсем уверен...

-- Ср дек 23, 2009 12:50:50 --

Ага! Чтобы частичные суммы применить, надо знать, что
$1- \frac12 + \frac13 - \frac14 + ... = \ln 2$, что следует из ряда Маклорена для $\ln (1+x)$.

-- Ср дек 23, 2009 12:51:42 --

З.Ы. Надо брать для интеграла не подстановки $x=0;1$ а односторонние пределы в этих точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 11:52 


25/12/08
184
Sonic86 в сообщении #274356 писал(а):

З.Ы. Надо брать для интеграла не подстановки $x=0;1$ а односторонние пределы в этих точках.


пределы там $=\infty$

про $ln2$
согласен, а что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 11:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
ozhigin писал(а):
согласен, а что дальше?

Согласны с чем? Я Вам 2 способа предложил, оба должны сработать, если не пользоваться матпакетами. Выберите какой-нибудь и покажите, что у Вас получается.

-- Ср дек 23, 2009 12:58:20 --

ozhigin писал(а):
пределы там $= + \infty$

Ммм, не должны... Если ряд $\sum\limits_{n \geq 0} a_n$ сходится, то ряд $\sum\limits_{n \geq 0} a_n x^n$ сходится по признаку Абеля при $|x|<1$ и имеет пределом значение суммы данного числового ряда при $x \to 1$.

-- Ср дек 23, 2009 12:59:53 --

Тем более, что данный ряд знакоположительный и сходится абсолютно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 12:16 


25/12/08
184
так мне очень понравилась идея с частичными суммами ,домножил на $2/2$, сверху 2 вынес, представил как $\frac{2} {3} \frac{2n-(2n+3} {2n(2n+3)}$
расписываем $\frac{2} {3} (\frac{1} {5}- \frac{1} {2}+ \frac{1} {7}- \frac{1} {4}+ \frac{1} {9}- \frac{1} {6}+....)$

добавим в скобках чего не хватает и вечтем $\frac{2} {3} (1+ \frac{1} {3}+\frac{1} {5}- \frac{1} {2}+ \frac{1} {7}- \frac{1} {4}+ \frac{1} {9}- \frac{1} {6}+....-1-\frac{1} {3})$
аааааааа выношу не $\frac{1} {3}$ а $-\frac{1} {3}$ всё)) сошлось с ответом, премного благодарен))

допиш уж
$=-\frac{2} {3} (ln2-\frac{4} {3})=\frac{8} {9}-\frac{2} {3} ln2$

кстати мы здесь когда группируем члены ряда ничего не нарушаем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 12:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
ozhigin писал(а):
кстати мы здесь когда группируем члены ряда ничего не нарушаем?

Нет, потому что рассматриваем частичную сумму, а не ряд целиком.
Еще численно на всякий случай значение проверьте, чтоб ошибок не было :-), я на глаз не могу

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 12:19 


25/12/08
184
поподробнее на эту тему, не понял?

-- Ср дек 23, 2009 13:24:20 --

Цитата:
Еще численно на всякий случай значение проверьте, чтоб ошибок не было :-), я на глаз не могу

с ответом в Кудрявцеве совпало,все норм)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение23.12.2009, 12:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
Ну, в частичной сумме слагаемые можно переставлять хоть как, просто потому, что сумма конечная - обычная.
В ряде целиком слагаемые можно переставлять $\Leftrightarrow$ ряд абсолютно сходится (это теорема Римана вроде, для условных можно напереставлять так, что получишь хоть какую сумму).

-- Ср дек 23, 2009 13:31:04 --

А, понял, туплю - мы же ряд и так целиком преобразовали. Значит ссылаемся на его абсолютную сходимость.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group