Найти сумму ряда

[ozhigin]

$a_n=\frac {1} {n(2n+3)}$
Методом "расписывания" частичных сумм он не решается, т.е мы вынесем 2 , но в скобке получится ненатуральное число

Хорошая идея рассмотреть функцию вида $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n x^{2n+3}$
в единице значение совпадает с суммой нашего ряда

дифференцируем $f(x)$, причесываем и заменяем $x^2=y$ ,таким образом $f'(x)=y\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n} {n}$
Обозначаем $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n} {n}=Q(y)$ , дифференцируем $Q(y)$, получаем прогрессию ,сумма равна $\frac {1} {1-y}$ / Затем интегрируем, $yQ(y)$ легко находится и равен $-x^2ln|1-x^2|=f'(x)$ а вот дальше интеграл не очень-то берется, даже в предельном смысле!

http://integrals.wolfram.com/index.jsp Вольфрам берет его, но без модуля аргумента логарифма, и подстановки x=0,1 ничего не дают (ф-ия не существует)

Ваши предложения? ещё раз сформулирую задачу Найти сумму ряда с членом

[Sonic86]

Интегралы $\int x^n \ln x dx$ берутся по частям, а $ \ln (1-x^2) = \ln (1-x) + \ln (1+x)$.

А насчет того, что расписывание частичных сумм не поможет, я что-то не совсем уверен...

-- Ср дек 23, 2009 12:50:50 --

Ага! Чтобы частичные суммы применить, надо знать, что
$1- \frac12 + \frac13 - \frac14 + ... = \ln 2$, что следует из ряда Маклорена для $\ln (1+x)$.

-- Ср дек 23, 2009 12:51:42 --

З.Ы. Надо брать для интеграла не подстановки $x=0;1$ а односторонние пределы в этих точках.

[ozhigin]

Sonic86 в сообщении #274356 писал(а):

З.Ы. Надо брать для интеграла не подстановки $x=0;1$ а односторонние пределы в этих точках.

пределы там $=\infty$

про $ln2$
согласен, а что дальше?

[Sonic86]

ozhigin писал(а):

согласен, а что дальше?

Согласны с чем? Я Вам 2 способа предложил, оба должны сработать, если не пользоваться матпакетами. Выберите какой-нибудь и покажите, что у Вас получается.

-- Ср дек 23, 2009 12:58:20 --

ozhigin писал(а):

пределы там $= + \infty$

Ммм, не должны... Если ряд $\sum\limits_{n \geq 0} a_n$ сходится, то ряд $\sum\limits_{n \geq 0} a_n x^n$ сходится по признаку Абеля при $|x|<1$ и имеет пределом значение суммы данного числового ряда при $x \to 1$.

-- Ср дек 23, 2009 12:59:53 --

Тем более, что данный ряд знакоположительный и сходится абсолютно.

[ozhigin]

так мне очень понравилась идея с частичными суммами ,домножил на $2/2$, сверху 2 вынес, представил как $\frac{2} {3} \frac{2n-(2n+3} {2n(2n+3)}$
расписываем $\frac{2} {3} (\frac{1} {5}- \frac{1} {2}+ \frac{1} {7}- \frac{1} {4}+ \frac{1} {9}- \frac{1} {6}+....)$

добавим в скобках чего не хватает и вечтем $\frac{2} {3} (1+ \frac{1} {3}+\frac{1} {5}- \frac{1} {2}+ \frac{1} {7}- \frac{1} {4}+ \frac{1} {9}- \frac{1} {6}+....-1-\frac{1} {3})$
аааааааа выношу не $\frac{1} {3}$ а $-\frac{1} {3}$ всё)) сошлось с ответом, премного благодарен))

допиш уж
$=-\frac{2} {3} (ln2-\frac{4} {3})=\frac{8} {9}-\frac{2} {3} ln2$

кстати мы здесь когда группируем члены ряда ничего не нарушаем?

[Sonic86]

ozhigin писал(а):

кстати мы здесь когда группируем члены ряда ничего не нарушаем?

Нет, потому что рассматриваем частичную сумму, а не ряд целиком.
Еще численно на всякий случай значение проверьте, чтоб ошибок не было , я на глаз не могу

[ozhigin]

поподробнее на эту тему, не понял?

-- Ср дек 23, 2009 13:24:20 --

Цитата:

Еще численно на всякий случай значение проверьте, чтоб ошибок не было , я на глаз не могу

с ответом в Кудрявцеве совпало,все норм)

[Sonic86]

Ну, в частичной сумме слагаемые можно переставлять хоть как, просто потому, что сумма конечная - обычная.
В ряде целиком слагаемые можно переставлять $\Leftrightarrow$ ряд абсолютно сходится (это теорема Римана вроде, для условных можно напереставлять так, что получишь хоть какую сумму).

-- Ср дек 23, 2009 13:31:04 --

А, понял, туплю - мы же ряд и так целиком преобразовали. Значит ссылаемся на его абсолютную сходимость.