x^x^x^.... =3

[ellipse]

$x^{x^{x^{x^{...}}}} =3$
как найти х?

[Sonic86]

$x^{x^{...}}$ - это какая спецфункция в матанализе, она связана с довольно простыми функциями. Нормальную литературу не скажу, а вот в Грэхеме, Кнуте, Паташнике "Конкретная математика" она есть, хотя книжка немного про другое.

... $E(x)=x^{x^{...}}$. Тогда $E(x)=x^{E(x)}$... нет, не помню.
Решение наверняка ищется численно.

[ИСН]

http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html

[Полосин]

$$ x^{x^{x...}}=a, a\ln x=\ln a, x=a^{1/a} $$

[ellipse]

Полосин в сообщении #273734 писал(а):

$$ x^{x^{x...}}=a, a\ln x=\ln a, x=a^{1/a} $$

не понятно как получили равенство. что означает запятая?

[meduza]

ellipse в сообщении #273739 писал(а):

не понятно как получили равенство. что означает запятая?

Прологарифмировали обе части первого равенства. Запятая -- для отделения равенств, можете в столбик написать, если вам нравится.

[ellipse]

Но ведь прежде чем так искать предел, нужно убедиться что a входит в область значений функции Е(x). Какова ее область значений?

[shust]

ellipse в сообщении #273746 писал(а):

Какова ее область значений?

Область ее значений как однозначной функции есть $[e^{-1},e]$.

Что касается основного вопроса,

ellipse в сообщении #273723 писал(а):

$x^{x^{x^{x^{...}}}} =3$
как найти х?

думаю, что при указанном значении правой части уравнения решений не существует, так, что вопрос о поиске $x$ отпадает сам собой.

По теме можете еще посмотреть пару ссылок:
http://dxdy.ru/post96645.html#p96645
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration

[RIP]

Док-во, кстати, можно найти на форуме: x>1 и x<1.

[ewert]

RIP в сообщении #273984 писал(а):

и x<1.

Только там как-то долго. Достаточно заметить, что $x^{x^p}$ как функция от $p$ монотонно возрастает, больше нуля в нуле, стремится к единице на бесконечности и имеет не более одной точки перегиба. Этого уже достаточно для утверждения, что в последовательности $p_{n+1}=x^{p_n}$ как чётная, так и нечётная подпоследовательности сходятся. А что к одному и тому же -- следует из элементарных геометрических соображений.

[RIP]

Да и без всяких геометрических соображений очевидно, что чётная и нечётная подпоследовательности монотонны и сходятся соответственно к большему и меньшему корням уравнения (относительно $p$) $x^{x^p}=p$. Там доказывается, что при $x\ge e^{-e}$ корень единственный, а при $x<e^{-e}$ корней 3 штуки.

[ewert]

Я, честно говоря, не вчитывался (за что и извиняюсь) -- много букаф, причём латинских и неочевидных.

Там доказывается, что именно при этом ограничении производная по $p$ функции $x^p$ в точке пересечения по модулю меньше единицы?

Если доказывается -- то это ровно то, что нужно; а больше не нужно и ничего.

(собственно, достаточно доказать, что та производная равна минус единице только при $x=e^{-e}$)

[RIP]

Там тупо в лоб (с помощью производной) проверяется, как выглядит график функции $f(t)=x^{x^t}-t$. При $x\ge e^{-e}$ она строго убывает на $\mathbb R$, а при $x<e^{-e}$ имеет график, похожий на график $3t-t^3$ (согласен, это можно было сделать и попроще: это следует из того, что в точке $p$ (где $x^p=p$) производная (которая равна $\log p$) меньше $-1$).
А почему достаточно того, что модуль производной меньше единицы? Это, конечно, даёт сжимаемость в некоторой окрестности этой точки, но в эту окрестность ведь ещё надо попасть. Какие дополнительные соображения используются?

[ewert]

Ну дело в том, что график $f(p)=x^{x^p}$ пересекает линию $g(p)=p$ или один, или три раза (соответственно выпуклостям). Если один -- то сходимость заведомо есть, независимо от наличия или отсутствия глобальной сжимаемости, и производная от просто $x^p$ в корне не превосходит единицы. А если три -- то сходимости заведомо нет ни при каком начальном приближении и, следовательно, та же производная в корне больше единицы. Альтернатива типа.