Высшая алгебра. Группы,представления.

[Алина:)]

Подскажите,пожалуйста с задачами...
1)Найти силовскую 5-подгруппу и её нормализатор в группе $S_6$.

(была мысль,что состоит из тождественной перестановки и четырех 5-циклов)

2)Описать все одномерные комплексные представления группы $D_4\otimes Q_8$ (прямое произведение). Доказать,что любое её комплексное трёхмерное представление неприводимо.
(Надо как-то связать известные одномерные представления групп $D_4$ и $Q_8$)

[Алина:)]

1)есть силовская подгруппа порядка 5.(цикл)
Таких подгрупп 16.
нормализаторов 720/16=45

верно ли это?

[Профессор Снэйп]

Алина:) в сообщении #271524 писал(а):

была мысль,что состоит из тождественной перестановки и четырех 5-циклов)

Да, это так. Ясно, что подгруппа, порождённая циклом длины $5$, является силовской $5$-подгруппой. Поскольку все силовские $5$-подгруппы сопряжены, то и любая силовская $5$-подгруппа представима в таком виде.

Для нахождения числа силовских $5$-подгрупп нужно всего лишь посчитать количество циклов длины $5$, задающих разные перестановки (и потом разделить это количество на $4$, поскольку в каждой $5$-подгруппе присутствует $4$ цикла). Циклов, в которых участвует $1$, всего $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$. Циклов, в которых не участвует $1$, всего $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$. Получаем, что всего $120 + 24 = 144$ цикла длины $5$ и $144 / 4 = 36$ силовских $5$-подгрупп. Так что ответ $16$, похоже, неправильный. Хотя, возможно, что это я где-нибудь ошибся.

[Алина:)]

спасибо,тогда количество нормализаторов -это порядок группы /количество силовских подгрупп?