была мысль,что состоит из тождественной перестановки и четырех 5-циклов)
Да, это так. Ясно, что подгруппа, порождённая циклом длины

, является силовской

-подгруппой. Поскольку все силовские

-подгруппы сопряжены, то и любая силовская

-подгруппа представима в таком виде.
Для нахождения числа силовских

-подгрупп нужно всего лишь посчитать количество циклов длины

, задающих разные перестановки (и потом разделить это количество на

, поскольку в каждой

-подгруппе присутствует

цикла). Циклов, в которых участвует

, всего

. Циклов, в которых не участвует

, всего

. Получаем, что всего

цикла длины

и

силовских

-подгрупп. Так что ответ

, похоже, неправильный. Хотя, возможно, что это я где-нибудь ошибся.