Это ли доказывал Ферма?

[Ales]

Большая Теорема Ферма (БТФ), что диофантово уравнение $x^n+y^n=z^n$ неразрешимо в натуральных числах, при $n>2$ - притягивает внимание любителей и профессионалов с середины XVIII века. Впервые на Теорему обратил внимание и опубликовал ее в современном виде Л. Эйлер. Теорема просто формулируется, но довольно сложно доказывается. (История Теоремы, классические способы доказательства частных случаев, и теория Куммера, изложены в хорошей, но достаточно трудной книге М. Постникова "Теорема Ферма".)
Как известно, благодаря труду Уайлса по доказательству гипотезы Таниямы, Большая Теорема Ферма считается сейчас доказанной. Как доказательство Уайлса гипотезы Таниямы, так и вывод Теоремы Ферма из этой гипотезы являются очень длинными, чрезвычайно сложными и изобилующими ссылками на другие работы текстами. Фактически нужно быть специалистом в указанной области (то есть товарищем этих математиков) чтобы понять и разобрать доказательство.
Я сам пытался понять, как Kenneth A. Ribet доказал БТФ. Однако его работа - From the Taniyama-Shimura Conjecture to Fermat’s Last Theorem - оказалась мне не по зубам. Я лишь обратил внимание, что доказательство опирается на то, что в разложении дискриминанта $D$ эллиптической кривой на простые сомножители степень двойки почему-то не кратна $n$ - показателю в БТФ, тогда как остальные простые числа имеют степень кратную $n$. Верно ли доказательство Рибета или ошибочно опирается на использование вместо дискриминанта $D$ его другой формы $\frac D4$ (из ложного посыла $D=\frac D4, D>0$, можно ведь вывести все что нужно) - для меня осталось неясным.

-- Вс дек 20, 2009 14:25:17 --

К сожалению, специалисты пока не предъявили обществу простое доказательство БТФ основанное на гипотезе Таниямы и не объяснили почему и как гипотеза Таниямы здесь работает.
Но верно ли современное доказательство или нет, никто не сомневается, что Ферма не мог таким образом доказать "свою" теорему.

А что же собственно и каким образом доказывал Ферма в своем далеком от нас ХVII столетии?
Мы знаем формулировку БТФ из книги "Арифметика Диофанта с примечаниями Ферма", изданной сыном самого Ферма уже после смерти великого математика. Сам Ферма свою Большую Теорему не публиковал и в письмах о ней никому не писал. В тоже время, в архивах Ферма и письмах удалось обнаружить задачи и доказательства, связанные со случаями БТФ для показателей 3 и 4. То есть мы имеем надежные свидетельства того, что Ферма доказал теорему для случая 4-ой степени и владел методами, позволяющими доказать теорему для случая куба.
Однако Ферма записал на полях своей книги, что располагает доказательством для куба, квадратоквадрата и далее для всех степеней до бесконечности.

Получается Ферма соврал или ошибся, или располагал каким то простым доказательством которое уже триста лет не могут найти все лучшие математики мира? А может быть он имел в виду нечто другое?

-- Вс дек 20, 2009 14:38:08 --

В самом деле, сам Ферма никогда не использовал обозначение $x^n$. Куб переменной $N$он обозначал $C$, квадрат - $Q$, четвертую степень - $QQ$.
Если у него не было обозначений для степени произвольного показателя, то возможно, он с такими степенями вообще и не работал и значит, свою терему мог формулировать только для степеней до бесконечности специального вида $C....C $, $Q....Q$, $Q...QC...C$, то есть степеней c показателем $2^k3^l$.
Такие степени, являющиеся комбинацией кубов и квадратов, в то время выделялись среди других степеней, а например, 5-ую степень тогда называли первой непредставимой. И современное обозначение $x^n$ появилось только в конце XVII века уже после Ферма.

[ananova]

Не согласен с такой постановкой вопроса. Она не приближает к решению общей проблемы, а предлагает упрощение ВТФ до уровня, который совсем не интересен. У меня дома лежит книжка Ферма по диафантовым уравнениям. Попробую опровергнуть Вашу гипотезу.

[Ales]

Значит вполне возможно, и я в это верю, что:
1. Ферма формулировал свою теорему для интересных ему и другим математикам случаев куба и квадратоквадрата и всех других степеней до бесконечности, представимых комбинацией кубов и квадратов;
2. у Ферма было доказательство теоремы , оно известно из его архива для 4-ой степени и восстановлено Эйлером для куба;
3. непредставимыми степенями 5-ой, 7-ой и т.д. Ферма не интересовался, теорему для них не формулировал и вообще за степени их не считал.

Отсюда следует, что может быть, никакого простого доказательства Большой Теоремы Ферма в ее современной формулировке никогда не было, и скорее всего, простое доказательство невозможно придумать.

Ферматисты, будьте осторожнее и не беритесь за невозможное.

[ananova]

А Малую теорему Ферма, по Вашему, тоже не доказывал для степени: 5, 7 и т.д.??

[Ales]

Замечание: малая Теорема Ферма.
Как же тогда Ферма не зная никаких степеней кроме куба и квадрата и их комбинаций сформулировал свою знаменитую малую Теорему: простое $p$ делит $n^p-n?
Посмотрите его работы, оказывается, он формулировал эту теорему для геометрических прогрессий. Примерно так: пусть дана прогрессия $2, 4, 8, 16, .....$, тогда член с номером $p$, уменьшенный на множитель прогрессии 2, будет делится на $p$.
Саму прогрессию он описывал строкой из номеров $1, 2, 3, 4, .....$, следующей строчкой он выписывал под ними соответсвующие степени конкретного числа. Никаких $x^n$.

[Nilenbert]

Ales в сообщении #273298 писал(а):

И современное обозначение $x^n$ появилось только в конце XVII века уже после Ферма.

Враньё. Такое обозначение встречается у Декарта в его "Геометрии", вышедшей в 1637. Вот кусок скана из этой книги:

[Ales]

Nilenbert в сообщении #273344 писал(а):

Ales в сообщении #273298 писал(а):

И современное обозначение $x^n$ появилось только в конце XVII века уже после Ферма.

Враньё. Такое обозначение встречается у Декарта в его "Геометрии", вышедшей в 1637.

Где об этом написано, можно ли ссылку?

Сам Ферма такие обозначения не использовал и не видел в тот момент, когда писал свое замечание на полях (раньше геометрии Декарта).
-- Вс дек 20, 2009 15:36:28 --

Как видно, в книге Декарта есть $x^2$, $x^3$. А есть ли там $x^n$?

[Nilenbert]

$x^n$ там подразумевается, а именно, тот отрывок переводится так:
"а также $aa$ или $a^2$ для [обозначения]умножения $a$ на само себя; $a^3$ для [обозначения] ещё одного умножения на $a$ и так далее до бесконечности."

-- Вс дек 20, 2009 16:57:18 --

Кстати, вы говорите, что у Ферма не было обозначений для пятой степени. Это не совсем так. Дело в том, что для обозначения больших степеней применялось две системы. По первой степени умножались и например квадрато-куб - это была шестая степень, а кубо-куб - девятая. Но вот например Виет применял другую, в которой степени складывались. Тогда квадрато-куб - это пятая степень, а кубо-куб - шестая. Вот пример из Виета:
A -B cubus cubus aequabitur A cubo-cubus - 6 A quadrato-cubus in B +15 A quad.quad. i n B quad. -20 A cubus in B cubum + 15A quadratum in B quad.-quad- 6 A B quad.-cub. + B cubus-cubus
что в наших обозначениях записывается так:
$(A-B)^6 = A^6-6A^5B+15A^4B^2-20A^3b^3+15A^2B^4-6AB^5+B^6$

[age]

Ales в сообщении #273298 писал(а):

В самом деле, сам Ферма никогда не использовал обозначение $x^n$.

Согласен. А в самой формулировке и не говорится про $x^n$, говорится лишь про куб, квадрато-квадрат и вообще никакую степень!
То, что $n$ - должно быть простым, это уже выдумки современных специалистов. В оригинале этим и не пахло!

-- Вс дек 20, 2009 19:21:57 --

Ales в сообщении #273331 писал(а):

Значит вполне возможно, и я в это верю, что:
1. Ферма формулировал свою теорему для интересных ему и другим математикам случаев куба и квадратоквадрата и всех других степеней до бесконечности, представимых комбинацией кубов и квадратов;
2. у Ферма было доказательство теоремы , оно известно из его архива для 4-ой степени и восстановлено Эйлером для куба;
3. непредставимыми степенями 5-ой, 7-ой и т.д. Ферма не интересовался, теорему для них не формулировал и вообще за степени их не считал.

Отсюда следует, что может быть, никакого простого доказательства Большой Теоремы Ферма в ее современной формулировке никогда не было, и скорее всего, простое доказательство невозможно придумать.

Ферматисты, будьте осторожнее и не беритесь за невозможное.

1. Неверно.
2. Неверно.
3. Верно.

Отсюда следует... - неверно. Не следует. Было.

[AD]

Да какая разница, что там Ферма формулировал? Вот задачка есть, вполне конкретная, интересная, трудная. Чего Вам еще-то надо?
Нет, Вы точно уверены, что это математический вопрос? Может, в гуманитарный раздел какой-нибудь переедем? А?

[ananova]

AD в сообщении #273459 писал(а):

Нет, Вы точно уверены, что это математический вопрос? Может, в гуманитарный раздел какой-нибудь переедем? А?

Во всяком случае - вопрос ближе к этой теме.

[ananova]

Учитывая, что тема не очень близкая к математике, попрошу совета у Вас.

Слово доказательство по отношению к ВТФ я не люблю, поэтому использую слово "Атака" или "Атака на ВТФ". Так вот, в течение 5 лет я провел много атак на теорему и некоторая часть весьма успешна - получил интересные результаты, которые могли бы быть интересны (по совокупности).

Обсуждать на форуме я их не хочу, т.к. публикация на форуме - потеря авторства. Результатом части атак является уточнение математических ограничений для ВТФ. Одну из атак (самую первую), можно найти на форуме (публиковал год назад) - для случая, когда $n>z$.

Другая успешная атака заключается в том, что для любых двух чисел ($x,y$) находятся числа $z$ и $q$, для которых ВТФ не справедлива (в конечном поле, порожденным числом $q$). Например, не раскрывая сути атаки: пусть $x$=13, $y$=14, тогда z=33 по модулю $q$=41 для $n$=3.

$13^3+14^3 \equiv 33^3 (mod 41)$.

[PS: Это ведь не совсем просто сделать для любой степени n без тупого перебора на компьютере? Можете прислать свои значения $x$ и $y$ и $n$, если есть недоверие].

Одна из атак ограничивает область допустимых значений для $n$ до $n>x/2$ , при которых ВТФ может быть справедлива, при этом $x<y$.

Одна из простых атак просто крышу сносит с ВТФ, но требует проверки именно на форуме, т.к именно здесь разрушаются все самые оптимистичные результаты.

В общем, страниц на 30-50 получается. После публикации можно было бы и на форуме обсудить результаты. (Опять же - где это можно опубликовать?) А пока - есть ли смысл? Ведь обнародование идей приведет к потере авторства.

[AD]

Для вопросов про как и что публиковать есть вот такая тема.
Рекомендую.

[ananova]

AD! Благодарю.. Вот это ценно, а то я побегал по форуму и ничего не нашел, поэтому и пост родился.

[age]

AD
Подобные темы связаны с отысканием "окольных" путей. Во многом, они могут быть продуктивнее тем, основанных на отыскании арифметических тождеств.

Хотя бы тем, что авторы первых хотя бы не считают себя Великими тождество-изобретателями!

-- Пн дек 21, 2009 13:44:12 --

ananova в сообщении #273493 писал(а):

Обсуждать на форуме я их не хочу, т.к. публикация на форуме - потеря авторства.

Автограф можно?

ananova в сообщении #273493 писал(а):

Одна из простых атак просто крышу сносит с ВТФ, но требует проверки именно на форуме, т.к именно здесь разрушаются все самые оптимистичные результаты.

В общем, страниц на 30-50 получается. После публикации можно было бы и на форуме обсудить результаты. (Опять же - где это можно опубликовать?) А пока - есть ли смысл? Ведь обнародование идей приведет к потере авторства.

Десять минут даю на разбитие ваших 30-50 страниц! Дольше не продержатся.
И то много!