Проверить выполнение условий Коши-Римана

[rar]

Проверьте решение задачи.

Проверить выполнение условия Коши-Римана для функции $f(z)=2/z$

Решение:

$$f(z)=\frac{2}{z}=\frac{2}{x-iy}=\frac{2x}{x^2+y^2}-i\frac{2y}{x^2+y^2}$$

$$u=\frac{2x}{x^2+y^2}$$

$$v=-\frac{2y}{x^2+y^2}$$

$$\frac{du}{dx}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)_{x}^{'}=2\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$

$$\frac{du}{dy}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)_{y}^{'}=2\frac{(x-y)^2}{(x^2+y^2)^2}$$

$$\frac{dv}{dx}=\left(-\frac{2y}{x^2+y^2}\right)_{x}^{'}=\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$$

$$\frac{dv}{dy}=\left(-\frac{2y}{x^2+y^2}\right)_{y}^{'}=2\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$

Условия Коши-Римана:

$$\frac{du}{dx}=\frac{dv}{dy}$$

$$\frac{du}{dy}\neq-\frac{dv}{dx}$$

Ответ: Для функции $f(z)=2/z$ условия Коши-Римана не выполнены.

[Профессор Снэйп]

Ответ неверный. Частные производные вычислены неправильно.

[Sonic86]

Маленькая подсказка. Если видите элементарную функцию от $z$, то условия Коши-Римана выполняются (в смысле, чтобы знали, какой должен получится ответ)

[rar]

Что, все частные производные взяты неверно?

Вот здесь действительно неправильно:

$$\frac{du}{dy}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)_{y}^{'}=\frac{(2x)'(x^2+y^2)-2x[(x^2+y^2)]'}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$$

Тогда, получается, что условия Коши-Римана выполняются.

[bigbon24]

Здравствуйте, у меня такой вопрос:
для проверки выполнения условий Коши-Римана необходимо взять частные производные вещественной и мнимой части функции и сравнить, а какой вид будут иметь вещественные и мнимые части у функции f(z)=(z+2)/(z-2)?

[Полосин]

Гораздо быстрее и проще перейти к формальным переменным $z, \bar z$ по формулам $x=(z+\bar z)/2, y=(z-\bar z)/(2i)$ (если исходная функция зависит от $x,y$), тогда условия Коши-Римана приобретают совсем простой вид: $\partial f/\partial \bar z=0$.