2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проверить выполнение условий Коши-Римана
Сообщение07.12.2009, 07:03 
Проверьте решение задачи.

Проверить выполнение условия Коши-Римана для функции $f(z)=2/z$

Решение:

$$f(z)=\frac{2}{z}=\frac{2}{x-iy}=\frac{2x}{x^2+y^2}-i\frac{2y}{x^2+y^2}$$
$$u=\frac{2x}{x^2+y^2}$$
$$v=-\frac{2y}{x^2+y^2}$$

$$\frac{du}{dx}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)_{x}^{'}=2\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$
$$\frac{du}{dy}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)_{y}^{'}=2\frac{(x-y)^2}{(x^2+y^2)^2}$$
$$\frac{dv}{dx}=\left(-\frac{2y}{x^2+y^2}\right)_{x}^{'}=\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$$
$$\frac{dv}{dy}=\left(-\frac{2y}{x^2+y^2}\right)_{y}^{'}=2\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$

Условия Коши-Римана:
$$\frac{du}{dx}=\frac{dv}{dy}$$
$$\frac{du}{dy}\neq-\frac{dv}{dx}$$

Ответ: Для функции $f(z)=2/z$ условия Коши-Римана не выполнены.

 
 
 
 Re: Проверить выполнение условий Коши-Римана
Сообщение07.12.2009, 07:25 
Аватара пользователя
Ответ неверный. Частные производные вычислены неправильно.

 
 
 
 Re: Проверить выполнение условий Коши-Римана
Сообщение07.12.2009, 08:51 
Маленькая подсказка. Если видите элементарную функцию от $z$, то условия Коши-Римана выполняются (в смысле, чтобы знали, какой должен получится ответ)

 
 
 
 Re: Проверить выполнение условий Коши-Римана
Сообщение07.12.2009, 09:22 
Что, все частные производные взяты неверно?

Вот здесь действительно неправильно:
$$\frac{du}{dy}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)_{y}^{'}=\frac{(2x)'(x^2+y^2)-2x[(x^2+y^2)]'}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$$

Тогда, получается, что условия Коши-Римана выполняются.

 
 
 
 Re: Проверить выполнение условий Коши-Римана
Сообщение20.12.2009, 15:37 
Здравствуйте, у меня такой вопрос:
для проверки выполнения условий Коши-Римана необходимо взять частные производные вещественной и мнимой части функции и сравнить, а какой вид будут иметь вещественные и мнимые части у функции f(z)=(z+2)/(z-2)?

 
 
 
 Re: Проверить выполнение условий Коши-Римана
Сообщение20.12.2009, 17:33 
Гораздо быстрее и проще перейти к формальным переменным $z, \bar z$ по формулам $x=(z+\bar z)/2, y=(z-\bar z)/(2i)$ (если исходная функция зависит от $x,y$), тогда условия Коши-Римана приобретают совсем простой вид: $\partial f/\partial \bar z=0$.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group