Существует ли треугольник с целыми сторонами и медианами

[Leox]

RIP в сообщении #273191 писал(а):

Треугольник со сторонами $136,170,174$ имеет медианы $158,131,127$, если я не ошибаюсь. А в статье ошибка (даже если я ошибаюсь).

Статьям набранньім в Wordе лучше не доверять

[RIP]

volchenok в сообщении #273252 писал(а):

Уважаемый RIP, расскажите, пожалуйста, как вы получили такой результат.

С помощью компьютера.

[volchenok]

Ну а общей формулы для таких треугольников, наверное, мне никто не подскажет. Но все равно всем огромное спасибо.

[Sandor]

«Существует ли треугольник с целочисленными сторонами и медианами?»

Возводя в квадрат и суммируя три формулы медиан, получаем неопределённое и неявное Диофантова уравнение второй степени с шестью неизвестными. Его решение в натуральной системе исключается неприводимостью многочлена. Однако ответ на изначальный вопрос можно получить и без его решения, вовлечением внешней информации!
Коэффициент подобия треугольников постоянный! Значит для негативного доказательства достаточно доказать наличие дробной медианы в примитивных треугольниках! Уже при одной нечётной стороне у треугольников одна из медиан дробная, исходя из формул! Поэтому необходимо исследовать случай трёх чётных сторон. Но такой треугольник подобный примитивному треугольнику. Его сокращение на нечётные делители не влияет на чётность сторон. А сокращение на наибольший чётный делитель приводит к примитивному треугольнику, с одной, двумя или тремя нечётными сторонами. Итак, согласно трём формулам медиан, хотя бы одна медиана треугольников дробная! Чего и требовалось доказать!

Доказательство проведено для общего треугольника!
Оно даёт негативный ответ и на открытую проблему: «Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?»

Однако отрицательное доказательство дилеммы существования именованного треугольника не суть проблемы. Она требует решения античной проблемы треугольников Герона, решения переопределённого диофантова уравнения Герона (уравнение для вычисления площади треугольников по трём его сторонам).
Открытая проблема: решение уравнения, определение общих явных формул, генерирующих треугольники Герона (подобно Пифагоровым треугольникам).
Существуют формулы – оглашённые общими формулами – генерирующие определённые треугольники! Мной получены – доказано общие – формулы!
([e-mail])

[Sandor]

Я явно поторопился с выводами. Это подтверждается контрпримером RIP. Сожалею, приношу извинения! Доказательство устоит для всех треугольников за исключением чётно-подобных.
Решение этого же вопроса для треугольников Герона - дважды открытая проблема, так как кроме медиан неизвестны общие явные формулы, генерирующие треугольники Герона. Их получение тоже является открытой проблемой! Развязка обеих проблем упирается в решение переопределённых диофантова уравнений, оределяюших медианы и площадь треушольников Герона через значения сторон. Ввиду переопределённости уравнений их решени требует вовлечения внешней дополнителтной информации. Общими явными формулами, генерирующими треугольники Герона, я располагаю.