Существует ли треугольник с целыми сторонами и медианами

[volchenok]

Существует ли треугольник с целыми сторонами и медианами, приведите пример. Если можно, дайте ссылки на русском языке. Заранее благодарен.

[volchenok]

Напишите хотя бы что-нибудь по этой теме.

[Leox]

volchenok в сообщении #273149 писал(а):

Напишите хотя бы что-нибудь по этой теме.

что-нибудь: найдите формульі которьіе вьіражают медианьі через стороньі. Псмотртите существуют ли такие цельіе значения сторон которьіе дадут цельіе медианьі.

[ИСН]

Вольфрам нам говорит, что существование такого треугольника, но только чтобы ещё с целой площадью - открытый вопрос. А если без площади, то почему-то ничего не говорит.

[neverland]

Вот здесь http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0901/0901.1857.pdf обсуждаются подобные вопросы. В частности доказывается, что у целочислиненного треугольника не более двух медиан могут быть целыми. Если я правильно поняла с моим английским

[volchenok]

На такую формулу я обратил внимание в первую очередь. Но дело в том, что там выходит неопределенное уравнение с 6 неизвестными второго порядка, которое я не смог решить. Если нет другого способа, подскажите, как его решить.

-- Вс дек 20, 2009 00:45:37 --

neverland в сообщении #273162 писал(а):

Вот здесь http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0901/0901.1857.pdf обсуждаются подобные вопросы. В частности доказывается, что у целочислиненного треугольника не более двух медиан могут быть целыми. Если я правильно поняла с моим английским

Если возможно сделать такой вывод, то получается, что в математике стает на один открытый вопрос меньше.

[Sasha2]

Вот кстати не очень трудно показать, что треугольник исходный и треугольник, построенный на трех его медианах, являются подобными. При этом коэффициент подобия равен $\frac{\sqrt3}{2}$.
Не здесь ли кроется ключ к решению этой задачи.

[Leox]

Sasha2 в сообщении #273172 писал(а):

Вот кстати не очень трудно показать, что треугольник исходный и треугольник, построенный на трех его медианах, являются подобными. При этом коэффициент подобия равен $\frac{\sqrt3}{2}$.
Не здесь ли кроется ключ к решению этой задачи.

Похоже на то что ето и есть уже решение.

[neverland]

(Оффтоп)

Кроме серединных трегольников интересными свойствами обладают также ортотреугольники и педальные трегольники (вершины -- основания перпендикуляров, опущенных из произвольной токи внутри треугольника на стороны). Но здечь речь о тругольнике, сторонами которого явлются медианы... Не вчиталась

Думаю, данный вопрос имеет больше отношения к теории чисел, чем к геометрии.

[RIP]

Sasha2 в сообщении #273172 писал(а):

Вот кстати не очень трудно показать, что треугольник исходный и треугольник, построенный на трех его медианах, являются подобными. При этом коэффициент подобия равен $\frac{\sqrt3}{2}$.

Что-то не верится. Смутно помнится, что правильная формулировка: если построить треугольник со сторонами, равными медианам, а затем аналогичную процедуру повторить для него, то вот тогда получится треугольник, подобный исходному (с коэффициентом пропорциональности $3/4$).

[Sasha2]

Нет не есть решение. Я по-моему сликом поторопился.
Вот рассуждение. Деталями техническими обременять не буду.
Суть вот какая.
Построим треугольник на трех медианах исходного.
Тогда медианами данного треугольника будут уже $\frac{3}{4}a, \frac{3}{4}b, \frac{3}{4}c$, где a, b и c - стороны исходного треугольника.
НАверно все таки я поторопился на основе этого объявить указанное выше подобие.

Ну вот опоздал, меня уже старшие товарищи поправляют.

[volchenok]

Так как насчет исходной задачи?

-- Вс дек 20, 2009 01:49:51 --

Раз Вольфрам пишет, что вопрос о не существовании треугольника с целыми сторонами, площадью, медианами открыт, а о треугольниках без целой площади ни слова, значит, наверное, его уже решили?

-- Вс дек 20, 2009 01:57:46 --

Вопрос очень интересный и ввиду позднего времени предлагаю подумать до завтра. А в принципе, пишите в любое время суток, когда появится что-то новое. Буду только рад.

[RIP]

Треугольник со сторонами $136,170,174$ имеет медианы $158,131,127$, если я не ошибаюсь. А в статье ошибка (даже если я ошибаюсь).

[neverland]

RIP в сообщении #273191 писал(а):

Треугольник со сторонами $136,170,174$ имеет медианы $158,131,127$, если я не ошибаюсь. А в статье ошибка (даже если я ошибаюсь).

Верно, прошу прощения за недостоверный источник.

[volchenok]

Уважаемый RIP, расскажите пожалуйста, как вы получили такой результат.