Геометрия Многообразий и Общая Топология

[smile]

есть две задачи, которые слегка ставят в тупик.
первая:
Пусть $(X, \tau)$ и $(Y, \eta)$- два топологических пространства, $S = \{A_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ - покрытие пространства X, $f:X \to Y$ некое отображение. Ограничение $f$ на произвольное $A_{\alpha}$ непрерывно. тогда доказать, что при выполнении любого из условий:
1) S открыто
2) S замкнуто и конечно
3) S замкнуто и локально конечно
отображение f будет непрерывно

вторая:
Пусть имеем многообразие $SO(3)$ в $\mathbb{R}^{9}.$. нужно показать, что
v = $\begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ -1&0&0 \end{pmatrix} будет касательным вектором к этому многообразию в точке E. Найти образ v под действием дифференциала отображения, которое ставит в сответствие матрице обратную к ней.

теперь о том, что именно ставит в тупик.
первая. По определению функция непрерывна на множестве, если непрерывна в каждой его точке. Таким образом, если она непрерывна на элементе покрытия, то и во всех точках этого элемента тоже. Поскольку покрытие - это покрытие, то функция непрерывна в каждой точке пространства и, значит, непрерывна на всем пространстве. так о чем, стало быть, задача?

вторая. При стандартном вложении $SO(3) в \mathbb{R}^{9}$ эта группа, очевидно, расположится на поверхности стандартной восьмимерной сферы радиуса 3. и очевидно, что эта матрица содержится в касательном пространстве к сфере в точке E, ибо она ортогональна нормали к сфере. Следует ли отсюда, что она будет лежать в касательном пространстве к многообразию? если посмореть на определение касательного пространства к поверхности и многообразию через векторы скорости всевозможных кривых, то кажется, что да. Так ли все просто?

[smile]

я уже понял, что был неправ насчет вывода "касается сферы, значит, касается многообразия, на ней лежащего". теперь другая светлая мысль пришла: взять функции, задающие многообразие, сосчитать градиенты и убедиться, что каждому из них эта матрица ортогональна. прокатит ли это?

[RIP]

smile в сообщении #273406 писал(а):

По определению функция непрерывна на множестве, если непрерывна в каждой его точке

по этому множеству.

smile в сообщении #273406 писал(а):

так о чем, стало быть, задача?

Пример. $X=Y=\mathbb R$,

$$f(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\ge0.\end{cases}$$

Покрытие $A_1=(-\infty;0)$, $A_2=[0;+\infty)$. Функция $f$ непрерывна на каждом из $A_j$, но не является непрерывной на $A_1\cup A_2$.

[smile]

ок, спасибо, с этим разобрался.