Сделать замену в двойном интеграле

[Mliva]

Произведя соответствующую замену, свести данный интеграл к однократному:

$$\iint\limits_{x^2+y^2 \le R^2} f(ax+by+c)dxdy, ~~~ a^2+b^2 \neq 0$$

Заглянув в ответ, испугался. Получается вот что:
$\frac{2R}{\varepsilon} \int\limits_{-\varepsilon}^{\varepsilon} \sqrt{\varepsilon^2-u^2} f(u+c)du, ~~ \varepsilon = R\sqrt{a^2+b^2}$
Ума не приложу, какую замену сюда надо прикрутить. Ну разве что судя по тому, как поменялся аргумент функции, можно предположить, что $u = ax+by$, хотя и то не факт, что я угадал.
Помогите придумать?

[AD]

Ну Вы пробовали проделать замену в общем виде и приравнять к тому, что должно получиться выписать условие, когда интеграл получается однократным?

[ewert]

Mliva в сообщении #273188 писал(а):

Ума не приложу, какую замену сюда надо прикрутить.

Ежу понятно, что $u=ax+by$ (а что же ещё, если подынтегральная функция зависит именно от этой переменной?...). А в пару к ней -- ясно, что $v=bx-ay$, чтобы замена была линейной и ортогональной. Тогда в новых переменных интегрирование будет вестись тоже по кругу, но другого радиуса; и если сделать интеграл по $v$ внутренним, то он берётся явно.