Метод конечных элементов

[poisonous]

Подскажите, пожалуйста...
Есть у меня плавающая на воде балка с условием, что она не переворачивается и не затапливается. К ней приложена сила и распределенная нагрузка. Требуется найти эпюры перемещений, перерезывающих сил и моментов. Для статической задачи, у меня вроде как все получилось. Уравнение выглядит вот так:
$-\frac{d^2}{dx^2}\biggl( EI \frac{d^2 u}{dx^2} \biggr)-ku+q=0$ Граничные условия:
$-IE\frac{d^3 u}{dx^3}(x=0)=P,\ \ \ \ \ \ -IE\frac{d^3 u}{dx^3}(x=L)=0$
$-IE\frac{d^2 u}{dx^2}(x=0)=0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -IE\frac{d^2 u}{dx^2}(x=L)=0$
А теперь задача состоит в том, что силу и нагрузку приложили в начальный момент времени, а потом убрали. Задача перестает быть статической и нужно использовать методику Ньюмарка. Это я вроде бы тоже поняла: просто заменяются производные по времени на конечные разности. Но как будет выглядеть уравнение? Подскажите пожалуйста, хотя бы где об этом почитать... Я что-то такое слышала, что справа появится вторая производная по времени... Но почему, вообще непонятно и только ли она появится...

[poisonous]

Неужели никто не знает?((((

[jetyb]

Разбейте отрезок на N равных частей, по бокам добавьте 2 точки - получите N+5 неизвестных. С помощью пятиточечной разностной схемы составьте N+1 уравнение. Оставшиеся 4 уравнения получите из граничных условий, применяя формулу численного дифференцирования. Получится система линейных уравнений. Решите ее на компьютере и радуйтесь.

[poisonous]

Суть в том, что нужно использовать именно метод конечных элементов(((((((((

[jetyb]

Ой, спутал

Если в этой задаче заменить вторую производную на первую, то получится стандартная учебная задача на метод Ритца. Полезно посмотреть как она решается.
В данном случае задача сводится к минимизации функционала:
$J(u)=\int\limits_0^1\left[EI(u'')^2+ku^2-2qu\right]dx$
(Примените к нему уравнение Эйлера-Лагранжа для производной второго порядка и сообразите с начальными условиями)
Возьмите подходящий базис $\{\varphi_i^h\}_{i=0}^N$ , функцию $u$ ищите в виде линейной комбинации элементов этого базиса $u=\sum\limits_{i=0}^Nc_i\varphi_i^h$; задача минимизации функционала сведется к задаче минимизации квадратичной формы, которую надо решить на компе.
Метод Ритца часто называют методом конечных элементов, если меры носителей базисных функций много меньше меры области, в которой решается задача.
В качестве базисных функций можно взять кусочно-квадратичные на равномерной сетке:
$\varphi_i^h=\begin{cases}1-\frac{(x-x_i)^2}{h^2}, x_{i-1}\leq x\leq x_{i+1}, 0\leq x\leq 1\\ 0\quad else\end{cases}$