Санкт-Петербург 2009 1 городской тур.

[@@@@@@@@@@]

При игре в керлинг камни запускают по ледовой дорожке, причем коэффициент трения камня о лед можно менять, царапая лед скребком или полируя его щеткой. Коэффициент трения обычного(нетронутого) льда $\mu = 0.04$, поцарапанный скребком лед имеет коэффициент трения $2\mu$, а отполированный щеткой-коэффициент $\mu/2$. Камень запустили так, что он начал скользить со скоростью $\upsilon = 3$$\text м/\text с$. Что следует взять-скребок или щетку- и какую часть дорожки надо обработать, чтобы камень остановился на расстоянии $L = 10 \text м$ от точки удара? При каких скоростях $\upsilon$ это вообще возможно? $g = 9.8$

Я решал эту задачу, пользуясь только вторым законом Ньютона, главными уравнениями кинематики и следствиями из них.
Сначала запишем дано:
$\mu_0 = 0.04$ $\mu_1 = 0.08$ $\mu_2 = 0.02$ $\upsilon_0 = 3$$\text м/\text с$
$L = 10 \text м$ $\upsilon = 0$$\text м/\text с$


$g = 9.8$$\text м/\text с^2$



1. Движение камня без использования щетки или камня.
$\upsilon=\upsilon_0-at$ $L=\upsilon_0t-\frac{(\upsilon-\upsilon_0)t} 2$
Отсюда $t=20/3 \text с$ и $a=-0.45 \text м/\text с^2$
Из второго закона Ньютона $\mu=a/g=0.05$, следовательно при данных параметрах движения тело выполнит условия задачи при движении по льду с коэффициентом трения $\mu =0.05$, а у нас 0.04.
2.Так как нам нужно понизить коэффициент трения, то мы будем использовать щетку. Вопрос какую часть пути полировать?
Предположим, что $s_1$ - участок пути, на котором тело будет двигаться по обычному льду, а $ s_2$- по отполированному. $s_1+s_2=L$
При известных коэффициентах трения, ускорением свободного падения, начальной скорости 1 этапа и конечной второго найдем ускорения для каждого из этапов движения.

$a_1=0.392 \text м/\text с^2 $ $a_2 = 0.196 \text м/\text с^2 $.
$s_1=\frac {\upsilon_1^2-\upsilon_0^2}{2a_1}$
$s_2=\frac {\upsilon^2-\upsilon_1^2}{2a_2}$. Так как $\upsilon=0\text м/\text с$ $\upsilon_1^2=-0.392s_1$, а $s_2=10-s_1$.
При подстановке получаем, что $s_1= 33 \text м$
Это невозможно. При начальной скорости 3 - 33 м, а нам нужно 3,3, следовательно начальная скорость должна быть в 10 раз меньше - 0,3 м/с.
Тогда часть льда, которую нужно отполировать будет иметь протяженность 6,7 м.
Ответ: щетку, 6,7 м, при скорости в 10 раз меньше данной.

Верно ли я решил задачу?

[Sasha2]

Ну насколько помнится, тормозной путь - это $L=\frac{{v_0}^2}{2a}$
При нетронутом льде $a=\mu{g}=0.4\text м/\text с^2$
И тормозной путь уже получается 11.25 метра.
Значит надо брать скребок.

[@@@@@@@@@@]

С квадратной головой подумал с точностью да наоборот и взял щетку. Тогда все решение не годится.

[Утундрий]

Скажите, а знание принципа максимума Понтрягина предполагается? А то, как-то очень уж слишком приблизительно абсолютно точно не вполне совсем просто все выглядит на первый незамыленный взгляд.

[@@@@@@@@@@]

Я, к сожалению, таковым не располагаю

[Sasha2]

А чего там мудорствовать.

1) Вот выпустили камень. Он сперва едет с ускорением $a_1$ и проходит путь $S_1$, в конце пути у него будет скорость $v_1$ такая что ${v_0}^2-{v_1}^2=2S_1a_1$.
2) На втором участке длиной $S_2$ камень едет с ускорением $a_2$, а в конце этого участка скорость равна нулю. Следовательно, ${v_1}^2=2S_2a_2$
3) По условию $S_1+S_2=S$

Решаем эту систему положив сперва $a_1$ - чистый лед, $a_2$ - скребок, а затем наоборот, чтобы определить, в каком случае меньше вкалывать нужно.