Доказать равенство(с несобственными интегралами)

[SSV]

Доказать равенство предполагая что интеграл в левой части сходится

$$\int\limits_{0}^{+\infty}{f(x^2)dx}=\alpha\int\limits_{0}^{+\infty}{f(\alpha^2x^2-2\alpha\beta+\frac{\beta^2}{x^2})}$$

$$\alpha>0,\beta>0$$

[ИСН]

В скобках прозреваю неиллюзорный полный квадрат.

[SSV]

Я тоже его вижу но не вижу способа это использовать

[ИСН]

Короче, надо опять расщеплять на две половины и в одной из них заменять примерно так:

$$\int f(x^2-2+1/x^2)dx=\int f(1/t^2-2+t^2){dt\over t ^2}$$

потом складывать обратно, потом всё красиво.

[SSV]

Это как интеграл расщепить на 2 части?

[ewert]

Найдите корень правого аргумента. Разбейте правый интеграл на два: от нуля до корня и от корня до бесконечности. Сделайте в первом из этих двух интегралов замену: икс есть константа делить на тэ, причём константу подберите так, чтобы чтобы пределы интегрирования в обоих интегралах оказались одинаковыми (а заодно и аргументы подынтегральной функции примут одинаковый вид). Соответственно, сложите снова оба правых слагаемых. И, наконец, убедитесь в том, что преобразованный таким образом правый интеграл напрашивающейся заменой сводится к левому.