2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать равенство(с несобственными интегралами)
Сообщение15.12.2009, 10:15 
Доказать равенство предполагая что интеграл в левой части сходится
$$\int\limits_{0}^{+\infty}{f(x^2)dx}=\alpha\int\limits_{0}^{+\infty}{f(\alpha^2x^2-2\alpha\beta+\frac{\beta^2}{x^2})}$$
$$\alpha>0,\beta>0$$

 
 
 
 Re: Доказать равенство(с несобственными интегралами)
Сообщение15.12.2009, 12:03 
Аватара пользователя
В скобках прозреваю неиллюзорный полный квадрат.

 
 
 
 Re: Доказать равенство(с несобственными интегралами)
Сообщение15.12.2009, 12:10 
Я тоже его вижу но не вижу способа это использовать

 
 
 
 Re: Доказать равенство(с несобственными интегралами)
Сообщение15.12.2009, 13:20 
Аватара пользователя
Короче, надо опять расщеплять на две половины и в одной из них заменять примерно так:
$$\int f(x^2-2+1/x^2)dx=\int f(1/t^2-2+t^2){dt\over t ^2}$$
потом складывать обратно, потом всё красиво.

 
 
 
 Re: Доказать равенство(с несобственными интегралами)
Сообщение15.12.2009, 19:23 
Это как интеграл расщепить на 2 части?

 
 
 
 Re: Доказать равенство(с несобственными интегралами)
Сообщение15.12.2009, 19:39 
Найдите корень правого аргумента. Разбейте правый интеграл на два: от нуля до корня и от корня до бесконечности. Сделайте в первом из этих двух интегралов замену: икс есть константа делить на тэ, причём константу подберите так, чтобы чтобы пределы интегрирования в обоих интегралах оказались одинаковыми (а заодно и аргументы подынтегральной функции примут одинаковый вид). Соответственно, сложите снова оба правых слагаемых. И, наконец, убедитесь в том, что преобразованный таким образом правый интеграл напрашивающейся заменой сводится к левому.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group