Задачи по терверу и статистике

[7iL]

Доброе время суток, господа. Благодарю Вас, что обратили внимание на мою тему. Как видите, у меня возникли некоторые проблемы с ТерВером. Я немного сомневаюсь в правильности и не знаю как решать.

1. На железнодорожной станции имеется 5 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?
   
   Решение писал(а):

   $$C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10.$$

   
   

2. В налоговом управлении работает 120 сотрудников, занимающих различные должности. Из них 67 мужчин рядовых сотрудников, 20 женщин рядовых сотрудников. В штате также имеются руководители среди мужчин и женщин. 29 и 4 соответственно. На профсоюзном собрании женщины заявили о дискриминации при выдвижении на руководящие должности. Правы ли они?
   
   Решение писал(а):

   Посчитаем соотношение мужчин рядовых сотрудников к общему числу рядовых сотрудников.
   

   $$M_w=\frac{67}{87}=0.77$$

   
   Теперь посчитаем соотношение мужчин-руководителей к общему количеству руководителей.
   

   $$M_h=\frac{29}{33}=0.88.$$

   
   Так как $M_h>M_w$, то женщины правы.
   

3. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные - с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет.
   
   Решение писал(а):

   Прогноз маркетологов и консультантов - два независимых, совместных события. Обозначим рост спроса как событие $D$, событие $A$ - осуществление прогноза отдела маркетинга, а воплощение в реальность предсказаний консультантов как $B$.
   Тогда

   $$P(D) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) = 0.8 + 0.95 - 0.8 \cdot 0.95 = 0.99 $$

   
   

4. Некоторый ресторан славится хорошей кухней. Управляющий ресторана хвастает, что в субботний вечер в течение получаса подходит до 9 групп посетителей. Составьте ряд распределения возможного числа групп посетителей в течение получаса; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте её график. Чему равна вероятность того, что 3 или более групп посетителей прибудут в ресторан в течение 10-минутного промежутка времени.
   
   Решение писал(а):

   Моего решения здесь нет. Я не знаю как построить сам ряд. Как найти мат ожидание, дисперсию и отклонение я знаю. График, думаю, я построю. Однако, без ряда я даже не знаю как подходить к нахождению вероятности.
   

Чуть позже напишу остальные задачи.
Спасибо за то что уделили мне время.

[PAV]

В первой задаче необходимо уточнить, считаем ли мы составы различимыми или нет. Вы написали решение для неразличимых составов (т.е. по сути выбираете из пяти путей, какие будут заняты, а какие свободны), но это не очень естественная постановка. Если считать составы различимыми (например, чтобы правильно отобразить на табло, какой поезд где стоит), тогда необходимо считать по-другому.

-- Пт дек 11, 2009 21:56:39 --

А если бы во второй задаче было бы соотношение в обратную сторону, то о дискриминации заявили бы мужчины? Нет, тут нужно рассуждать тоньше. Нужно каким-либо статистическим методом учитывать то, насколько вероятно такое соотношение частот, если бы распределение на руководящие должности было бы случайным. В итоге должна получиться некоторая вероятность, и о дискриминации можно уверенно заявить, если она будет достаточно малой. Что считать достаточно малым - вопрос субъективный. Но в любом случае нужно узнать, о каких методах решения подобных задач Вам рассказывали в курсе.

-- Пт дек 11, 2009 21:59:10 --

Третья задача довольно странная. Поскольку речь идет об одном и том же событии (будет рост или нет), то независимым это считать довольно сложно. Мне непонятно, какую вероятностную модель авторы задачи имели в виду.

-- Пт дек 11, 2009 22:02:34 --

В четвертом пункте тоже постановка какая-то невнятная. Предполагаю, что подразумевается, что количество групп посетителей может быть любым числом от 0 до 9 в равными вероятностями (равномерное распределение), хотя это предположение никак не следует из текста задачи, взято с потолка и вообще неправдоподобно. Но в тексте задачи вообще не вижу никакого намека на более правдоподобную модель, так что на свой страх и риск можно попробовать рассчитать эту.

-- Пт дек 11, 2009 22:04:34 --

Хотя нет, в четвертом пункте можно предположить, что речь идет о простейшем потоке событий, для которого из слов управляющего якобы можно найти интенсивность. Если эти слова Вам о чем-нибудь говорят, тогда наверное имелось в виду это.

[7iL]

Я вижу, что Вы также обратили внимание на невнятную постановку задач. Попробуем разобраться.

1. Из опыта решения других задач я могу твердо сказать, что здесь надо считать сочетания.
2. Вторая задача именно по теории вероятности, но я не понимаю, каким боком эта вероятность здесь учитывается. Однако "вопрос дискриминации" сам по себе спорен, так как , возможно, что специфика работы просто более мужская. Вы согласитесь со мной, что в швейном цеху скорее наблюдается противоположная ситуация, нежели в налоговом аппарате. Однако, ни о какой дискриминации не идет речи.
   Хотя возможно, это был Ваш намек на решение, но я его не понял
3. Я долго думал над этой задачей. Зависимы события или нет? Очень может быть, что консультанты и маркетологи берут данные из разных источников. Однако, можно провести параллель с другой задачей.
   Два стрелка стреляют в мишень. Вероятность попадания первого 0.8, второго 0.6, если, конечно, он не отказывается стрелять. Если он отказывается стрелять, то вероятность промаха 0.99. (я понимаю, звучит немножко странно, может он просто ломается. Также можно сказать, что это событие крайне маловероятно, ведь постановка задачи уже отменяет этот исход). Какова вероятность, что пуля таки попадет в цель?
4. Слова о интенсивности мне ничего не говорят. Однако, так же я знаю, что если ничего не известно о распределении заранее, то принимают скорее "гипотезу о равновероятности". Это похоже на задачу с шарами. Когда в корзине 5 шаров. Все что известно - они черные или белые. Вынимают шар, а он белый. Требуется посчитать вероятность какого-то количества шаров до опыта.

Задачи на статистику я пока не публиковал, так как не владею материалом их решения. А публикация без решения или мыслей противоречит правилам, на сколько я знаю.

[PAV]

7iL в сообщении #270461 писал(а):

Из опыта решения других задач я могу твердо сказать, что здесь надо считать сочетания.

Из опыта преподавания теории вероятностей я могу твердо сказать, что здесь надо определиться, считаются ли составы различимыми или нет. Если нет - тогда сочетания, а если да - тогда формула будет другой.

-- Пт дек 11, 2009 23:19:44 --

7iL в сообщении #270461 писал(а):

Слова о интенсивности мне ничего не говорят. Однако, так же я знаю, что если ничего не известно о распределении заранее, то принимают скорее "гипотезу о равновероятности". Это похоже на задачу с шарами. Когда в корзине 5 шаров. Все что известно - они черные или белые. Вынимают шар, а он белый. Требуется посчитать вероятность какого-то количества шаров до опыта.

Во-первых, из соображений здравого смысла равновероятное распределение здесь не подходит (если иметь в виду реальную ситуацию; конечно, в формулировках задач здравый смысл учитывается не всегда). Однако даже если мы примем эту гипотезу, то она не поможет нам посчитать распределение числа групп в промежутке 10 минут. А модель простейшего потока событий, в которой количество событий в заданном промежутке времени имеет распределение Пуассона, во-первых реально может описывать данную ситуацию, во-вторых в точности способна ответить на данный вопрос.

-- Пт дек 11, 2009 23:22:42 --

Вы лучше напишите, откуда взялись такие задачи. В том смысле, что какой уровень владения предметом подразумевается? Потому как первая задача по-любому элементарная, вторая содержательная, но не настолько элементарная (во всяком случае, чтобы ее дать, Вам должны были дать какие-то теоретические сведения по статистике и по тому, как подобные вещи решать), третья сформулирована непонятно, а в четвертой тоже явно подразумевается владение некоторым дополнительным материалом.

-- Пт дек 11, 2009 23:33:27 --

Естественно, во второй задаче "дискриминация" понимается условно и вообще добавлена для красоты. Статистическая (учебная) постановка задачи тут следующая. Всего сотрудников 120, из них женщин 24 (пятая часть). Руководящих должностей 33. Таким образом, при случайном выборе сотрудников на руководящие должности женщин среди них должно быть 6-7. Точнее, это наиболее вероятное значение. Но конечно же возможны случайные отклонения. Наблюдается значение 4. Нужно понять, насколько вероятно оно. Строго говоря, нужно найти вероятность того, что при действительно случайном выборе руководителей женщин среди них окажется 4 или меньше. Вот эту вероятность Вы и должны рассчитать.

[7iL]

"Теория вероятностей и мат статистика. Задания для контрольных работы. Для студентов экономических специальностей."
В тексте ксерокса мелкают надписи Юрченко М. А. "Теория вероятностей и мат статистика для заочников". Также я нашел эти задачи на сайте какого-то ростовского университета.

Вторая задача относится к таким темам "Определение вероятности и свойства, вытекающие из определения, классификация событий, диаграммы Венна. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события."

Про третью задачу ничего не указано.

Четвертая относится к "Определению случайной дискретной величины. Законам распределения дискретной случайно величины. Функциям распределения случайной величины. Математическому ожиданию и дисперсии. Математическим операциям над случайными величинами. Распределению Бернулли и Пуассона. Гипергеометрическому распределению."

[PAV]

7iL в сообщении #270469 писал(а):

Вторая задача относится к таким темам "Определение вероятности и свойства, вытекающие из определения, классификация событий, диаграммы Венна. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события."

Ну в таком случае скорее всего Вы правы (в том смысле, что имелось в виду именно подобное решение). Можно еще показать, что событие "случайно выбранный сотрудник является мужчиной" и "случайно выбранный сотрудник занимает руководящую должность" зависимы и зависимость эта именно такая. Можно условные вероятности посчитать: что вероятность быть руководителем при условии, что ты мужчина, выше чем без этого условия. Однако тех, кто выбирает такие формулировки для задач, я бы увольнял по причине несоответствия занимаемой должности. Нельзя этого делать и нельзя учить так делать статистические выводы.

-- Пт дек 11, 2009 23:57:07 --

Последняя точно на распределение Пуассона, однако как именно автор подразумевал из условия определять точное значение параметра - я судить не берусь.

-- Пт дек 11, 2009 23:58:56 --

Если Вы сами выбираете себе задачи, то лучше поискать источник получше. Если не сами - могу только посочувствовать.

[ewert]

В последней задаче бессмысленно словосочетание "подходит до 9 групп посетителей". Вот если бы было "подходит в среднем 9 групп посетителей" -- то да, был бы (по замыслу) типичный Пуассон. С типичной же для таких задач нереалистичностью интерпретации.

[7iL]

ewert в сообщении #270573 писал(а):

В последней задаче бессмысленно словосочетание "подходит до 9 групп посетителей". Вот если бы было "подходит в среднем 9 групп посетителей" -- то да, был бы (по замыслу) типичный Пуассон. С типичной же для таких задач нереалистичностью интерпретации.

Согласен, если было бы "в среднем", то имелось бы в виду мат ожидание. Нужна именно лямбда, и мне ничего не остается делать, как принять лямбду равной 9. В принципе, так же через 30 минут можно выделить количество секунд и принять это как число испытаний. Тогда решение вопроса "10 минут" не составит труда.

Лямбда 9, конечно, сильно перечит условию. Ради интереса промоделировал ситуацию, чтобы посмотреть. Какое мат ожидание лучше взять.

Моделирование ситуации писал(а):

M(x) = 1
p = 0.000555556
1 : 0.36788
2 : 0.18394
3 : 0.0613133
4 : 0.0153283
5 : 0.00306566
6 : 0.000510944
7 : 7.2992e-005
8 : 9.124e-006
9 : 1.01378e-006
M(x) = 2
p = 0.00111111
1 : 0.270671
2 : 0.270671
3 : 0.180447
4 : 0.0902236
5 : 0.0360895
6 : 0.0120298
7 : 0.00343709
8 : 0.000859273
9 : 0.00019095
M(x) = 3
p = 0.00166667
1 : 0.149362
2 : 0.224042
3 : 0.224042
4 : 0.168032
5 : 0.100819
6 : 0.0504095
7 : 0.0216041
8 : 0.00810153
9 : 0.00270051
M(x) = 4
p = 0.00222222
1 : 0.0732628
2 : 0.146526
3 : 0.195367
4 : 0.195367
5 : 0.156294
6 : 0.104196
7 : 0.0595405
8 : 0.0297703
9 : 0.0132312
M(x) = 5
p = 0.00277778
1 : 0.0336898
2 : 0.0842246
3 : 0.140374
4 : 0.175468
5 : 0.175468
6 : 0.146223
7 : 0.104445
8 : 0.0652783
9 : 0.0362657
M(x) = 6
p = 0.00333333
1 : 0.0148726
2 : 0.0446177
3 : 0.0892354
4 : 0.133853
5 : 0.160624
6 : 0.160624
7 : 0.137678
8 : 0.103258
9 : 0.0688388
M(x) = 7
p = 0.00388889
1 : 0.0063832
2 : 0.0223412
3 : 0.0521295
4 : 0.0912266
5 : 0.127717
6 : 0.149003
7 : 0.149003
8 : 0.130378
9 : 0.101405
M(x) = 8
p = 0.00444444
1 : 0.00268372
2 : 0.0107349
3 : 0.0286263
4 : 0.0572526
5 : 0.0916042
6 : 0.122139
7 : 0.139587
8 : 0.139587
9 : 0.124078
M(x) = 9
p = 0.005
1 : 0.00111069
2 : 0.00499813
3 : 0.0149944
4 : 0.0337374
5 : 0.0607272
6 : 0.0910909
7 : 0.117117
8 : 0.131756
9 : 0.131756
Press any key to continue . . .

Конечно, лучше взять троечку, но я абсолютно не знаю как обосновать свой выбор. А ничего кроме "если максимум равен 9, то следует разделить на 2" мне в голову не приходит.

[PAV]

Совершенно непонятно, что Вы моделировали. Если принять, что количество групп, подошедших в течение получаса, распределено по Пуассону с параметром $\lambda=9$, то математическое ожидание как раз 9 и будет. Для 10 минут нужно тогда взять $\lambda=3$ и ни к каким секундам тут переходить ни к чему.

[7iL]

PAV в сообщении #270746 писал(а):

Совершенно непонятно, что Вы моделировали. Если принять, что количество групп, подошедших в течение получаса, распределено по Пуассону с параметром $\lambda=9$, то математическое ожидание как раз 9 и будет. Для 10 минут нужно тогда взять $\lambda=3$ и ни к каким секундам тут переходить ни к чему.

Давайте расставим все точки над i.
Запишем изначально формулу Пуассона, чтобы не было разногласия в буквах.

$$P=\frac{\lambda ^k \cdot e^-\lambda}{k!}$$

Где $\lambda$ - мат ожидание, $k$ - сколько раз сбылось событие(количество гостей).

Я исходил из того, что закон Пуассона так же называют "закон редких событий", значит, что вероятность должна быть довольно малой, т.е. значительно меньше 1. Возможно, я неправ в этом пункте.

Что касается моделирования, я могу показать вам фрагмент программы, которая просто считает числа и выводит.

Используется синтаксис C++

// 3dimarray.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"
using namespace std;

double calc(const double&, const double&);
double fact(const double&); // вычисление факториала

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
        for (double i = 1;i < 15;++i)
        {
                cout << "M(x) = " << i << endl; // мат ожидание
                cout << "p = " << i/1800.0 << endl; // 1800 секунд = 30 минут

                for (double j = 1; j < 15;++j)
                        cout << j << " : " << calc(i, j) << endl; // формат "количество гостей : вероятность"          
        }
        _wsystem(L"pause");
        return 0;
}

double fact(const double &base)
{
        if (base == 1 || base == 0)
                return 1;
        if (base < 0)
                return -1;
        return base * fact(base - 1);
}

double calc(const double &mx, const double &k) // вычисление вероятности по Пуассону
{
        double lambda = pow(mx, k);
        double e          = pow(2.71828, -mx);
        double base   = fact(k);

        return lambda * e/base;
}
 

Так же я не совсем понял, почему Вы берете $\lambda = 3$ при 10 минутах.
Однако, идея с тройкой мне определенно нравится. Я взял формулу Бернулли и прикинул, какое наивероятнейшее число событий может случится, если $\lambda=3$, вероятность наступления события 0.0008(приход 10 групп), а время работы ресторана 10 лет. При условии, что каждую субботу есть только одни такие "30 минут". Получилось, что событие может и не произойти.

[ewert]

7iL в сообщении #270761 писал(а):

значит, что вероятность должна быть довольно малой, т.е. значительно меньше 1. Возможно, я неправ в этом пункте.

Законом Пуассона называют просто закон Пуассона, и всё тут. А "редкие события" в такого рода задачах -- просто притягивают за уши, чтобы хоть как-то обосновать пуассоновость.

В данном случае уши такие. Предполагается, что по городу бродит много-много групп. Каждая из которых в эти полчаса с одной и той же (неизвестной) вероятностью заходит или не заходит в этот ресторан. Причём независимо друг от друга. Испытание -- это проверка одной такой группы: заглянула или нет. Объём серии (количество испытаний) -- это количество всех групп.

Малоадекватно, конечно, но -- за неимением дополнительной информации...

7iL в сообщении #270761 писал(а):

Так же я не совсем понял, почему Вы берете $\lambda = 3$ при 10 минутах.

Если в среднем за 30 минут случается 9 успехов, то за 10 минут -- в среднем 3 успеха.

7iL в сообщении #270761 писал(а):

Я взял формулу Бернулли и прикинул, какое наивероятнейшее число событий может случится,

Чего тут прикидывать. Наиболее вероятное -- примерно такое же, как и среднее, т.е. $np$.

[7iL]

ewert в сообщении #270764 писал(а):

Чего тут прикидывать. Наиболее вероятное -- примерно такое же, как и среднее, т.е. .

Совершенно верно. Однако, управляющий заявляет, что он не видел более 9 групп в субботний вечер за 30 минут. Если же принять, что мат ожидание равно 9, тогда появление 10 групп весьма вероятно. При чем, может быть, даже чуть менее вероятно, чем появление 8 групп.

Я склоняюсь к мысли, что следует вычислить мат ожидание изначально. Если я правильно понял Ваши мысли и мысли Вашего коллеги, то в формуле

$$\lambda=n \cdot p $$

за $n$ следует брать именно количество минут.

[PAV]

7iL в сообщении #270768 писал(а):

Совершенно верно. Однако, управляющий заявляет, что он не видел более 9 групп в субботний вечер за 30 минут. Если же принять, что мат ожидание равно 9, тогда появление 10 групп весьма вероятно. При чем, может быть, даже чуть менее вероятно, чем появление 8 групп.

Совершенно верно, именно поэтому и совершенно непонятно, как автор задачи предполагал определять $\lambda$ из своей задачи. Раз это задача учебная, то и способ должен быть однозначный и без каких-либо дополнительных условий, взятых с потолка. Поэтому единственный способ, который можно посоветовать - это заменить "не более 9 групп" на "в среднем 9 групп" и принять отсюда $\lambda=9$.

Нет, можно конечно как-то формализовать в данном случае понятие "редкое событие" и принять $\lambda$ таким, чтобы событие "более 9 групп" было редким в указанном смысле. Но эта формализация будет заведомо неоднозначной, поэтому в случае учебной задачи должно было бы явно указано, как ее определять. Учитывая, что задачи из начального уровня изучения предмета, можно достаточно определенно говорить, что такой ход решения не подразумевался.

-- Сб дек 12, 2009 23:22:41 --

Вообще-то модель простейшего потока событий, который тут действительно явно подразумевается, заключается в следующем. Имеется параметр $\mu>0$, который называется интенсивностью потока. Он ни к какому временному интервалу не привязан. Если же мы рассмотрим временной интервал длины $\Delta t$, то количество событий, которые произойдут в течение этого интервала, распределено по закону Пуассона с параметром $\lambda=\mu\cdot\Delta t$. Таким образом, параметр $\lambda$ прямо пропорционален длине промежутка времени. Отсюда и следует, что если мы принимаем $\lambda=9$ для получаса, то для десяти минут будет втрое меньше.

[7iL]

Подумал над тем что Вы сказали, поигрался с числами. Ряд распределения варьируется от 17 членов до 27. Зависит от необходимой точности. Потому решил, все-таки отыскать необходимую $\lambda$. С ней я хоть знаю, сколько нужно брать членов. Плюс, опираясь на то, что сумма вероятностей членов должна быть равна 1, я могу составить программку и вычислить то что мне нужно. Да и построить график для 10 членов будет нагляднее, чем для 27. Однако, как это оформить в нормальном математическом виде, я не знаю. Не давать же кусок программы на экономической специальности.

[7iL]

График построил, рассчитал величины. Еще один вопрос : функция распределения - это сумма всех этих вероятностей, верно?