теорема Брауэра, неподвижная точка

[oposum]

В одном из курсов нам сформулировали теорему Брауэра в следующем виде: пусть
$K=\left\{\bar x=(x_1,\,x_2,\ldots,x_n)\geqslant 0|\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=1\right\}$
и $f:K\to K$ -- непрерывное отображение. Тогда у этого отображения существует неподвижная точка.

Пусть теперь дано невыпуклое множество, состоящее из трех отрезков $Y = \left\{\{x = 0,\, -1 \leqslant y \leqslant 0\},\{-1\leqslant x\leqslant0, y = -x\},\{0\leqslant x\leqslant1, y = x\}\right\},$
на нем определена непрерывное отображение $f:Y\to Y.$ Существует ли у этого отображения неподвижная точка?

[Someone]

Множество $Y$ является ретрактом треугольника с вершинами в концах отрезков, а для треугольника теорема о неподвижной точки верна. Это подсказка.

[oposum]

Т. е вы предлагаете представить изначальное непрерывное отображение в виде суперпозиции непрерывных отображений, у которых есть неподвижные точки? а почему тогда у исходного отображения будет неподвижная точка?

[ewert]

Если $g:\ \Delta\mapsto Y$ и $f:\ Y\mapsto Y$, то $f\circ g:\ \Delta\mapsto Y$. Последнее непрерывно и, следовательно, имеет неподвижную точку. Причём лежащую на образе $f$, т.е. заведомо на $Y$. И осталось лишь выбрать $\Delta$ так, чтобы...

[oposum]

ewert в сообщении #270238 писал(а):

Последнее непрерывно и, следовательно, имеет неподвижную точку.

Почему?

[ewert]

По Брауэру -- оно непрерывно на треугольнике.

[Профессор Снэйп]

Насколько я понимаю, теорема Брауэра справедлива для любого подмножества $\mathbb{R}^n$, гомеоморфного замкнутому шару. В частности, для любого треугольника, четырёхугольника и т. п. Действительно, если $B$ --- замкнутый шар, $X \subseteq \mathbb{R}^n$ и $\varphi : X \to B$ --- гомеоморфизм, то отображение $g = \varphi \circ f \circ \varphi^{-1} : B \to B$ --- непрерывное отображение $B$ в себя, и если $g(x_0) = x_0$, то $f(\varphi^{-1}(x_0)) = \varphi^{-1}(x_0)$.

A вот как построить непрерывное отображение внутренности круга в себя, не имеющее неподвижной точки? И можно ли добиться того, чтобы это отображение было биективным?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #270579 писал(а):

A вот как построить непрерывное отображение внутренности круга в себя, не имеющее неподвижной точки?

A как построить непрерывное отображение внутренности отрезка в себя, не имеющее неподвижной точки? И можно ли выбрать его биективным?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #270579 писал(а):

A вот как построить непрерывное отображение внутренности круга в себя, не имеющее неподвижной точки? И можно ли добиться того, чтобы это отображение было биективным?

С точностью до гомеоморфизма внутренность круга — это плоскость, а плоскость можно, например, сдвинуть.

[ewert]

Или, если уж наглядно. В пространстве рисуем плоскость $y=z$ и выбираем на нём эллипс так, чтобы в проекциях на плоскости $XOZ$ и $XOY$ получались круги. Поначалу берём тривиальную биекцию, связывающую эти круги через плоскость. А потом поверхность, натянутую на эллипс, чуток продавливаем вниз.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #270601 писал(а):

С точностью до гомеоморфизма внутренность круга — это плоскость, а плоскость можно, например, сдвинуть.

Доступно. Мог бы и сам догадаться