Насколько я понимаю, теорема Брауэра справедлива для любого подмножества

, гомеоморфного замкнутому шару. В частности, для любого треугольника, четырёхугольника и т. п. Действительно, если

--- замкнутый шар,

и

--- гомеоморфизм, то отображение

--- непрерывное отображение

в себя, и если

, то

.
A вот как построить непрерывное отображение внутренности круга в себя, не имеющее неподвижной точки? И можно ли добиться того, чтобы это отображение было биективным?