Обоснования к степенному ряду

[HZ_Ga'd_like]

Догброго времени суток, помогите пристроить обоснование к задаче, которую уже решил:
Дан ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{(n+1)(2n+1)}$
Вычислить сумму ряда. Сумму уже посчитал через степенной ряд, почленно интегрируя и дифференцируя. Вопрос состоит в том, что степенной ряд ( $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^nx^{2n+2}}{(n+1)(2n+1)}$ ) сходится в точке 1, а вторая производная этого ряда не сходится там ( $\sum\limits_{n=0}^{\infty} {(-1)^nx^{2n}}$ ) Как строго обосновать, что мы можем суммировать в 1?

[INDIGO1991]

По теореме Абеля.

Нам всеравно что ряд из вторых производных в крайней точке не сходится.

[ewert]

Абель тут (на границе) молчит. Но: собственно, Вам надо доказать, что $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^{2n+2}\over(n+1)(2n+1)}$ непрерывна при $x\to1-0$. Т.е. что $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^n(1-x^{2n+2})\over(n+1)(2n+1)}\to0$ при $x\to1$. Стандартно: разбейте эту сумму на две -- от $0$ до $M$ и от $(M+1)$ до $\infty$. По любому $\varepsilon>0$ выберите $M$ так, чтобы вторая сумма оказалась меньше ${\varepsilon\over2}$ (независимо от $x$). Это можно: ряд-то сходится абсолютно, а числители равномерно ограничены. Потом для этого (уже фиксированного по $\varepsilon$) значения $M$ выберите границу для иксов, правее которой первая часть суммы была меньше ${\varepsilon\over2}$.

[INDIGO1991]

А можно узнать почему Абель не проходит?

т.Абеля
$S(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{c_{n}x^n}$ c радиюсом сходимости R и в точке $x=R$ ряд сходится то $S(R)=\lim\limits_{x-> R-0}{S(x)}$

Что не выполняется?

[ewert]

Выполняться-то выполняется, только это обычно в стандартную теорему Абеля не включают.