Непрерывные отображения

[NPcomplete]

В одном учебнике нашел следующее замечание:

Цитата:

Замечание 2.8. Непрерывное отображение совершенно не обязано переводить последовательности Коши в последовательности Коши. Рассмотрим, например, отображение Q → {0, 1}, переводящее все числа > √2 в 1, а все числа меньше √2 в 0. Открытых подмножеств в множестве {0, 1} 4 штуки: {0}, {1}, пустое множество и все {0, 1}; легко видеть, что прообраз каждого из них открыт.

Замечание базируется на следующих определениях:

Цитата:

Определение 2.5. Подмножество Z ⊂ M метрического пространства
называется открытым, если если верны следующие равносильные условия вместе с каждой точкой z ∈ Z, Z содержит целиком некоторый ε-
шар с центром в этой точке.

Цитата:

Определение 2.7. Пусть (M1, d1) и (M2, d2) метрические пространства, а f : M1 → M2 некоторое отображение. Оно называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт.

Помогите разобраться, почему перечисленные в замечании подмножества открыты? Ведь в каждое из них состоит из конечного числа элементов и не содержит эпсилон-шары соответствующих эпсилон-шаров. Ну и отображение получается чем-то вроде единичной ступеньки, а она содержит разрыв.

[Виктор Викторов]

Вам нужно прочесть книгу по основам общей топологии. В двух словах тут объяснить нельзя.

[AD]

NPcomplete в сообщении #270514 писал(а):

Ведь в каждое из них состоит из конечного числа элементов и не содержит эпсилон-шары соответствующих эпсилон-шаров.

Неверно. Оно содержит шары радиуса меньше $1$, ибо эти шары состоят из одного элемента - своего центра.

[Профессор Снэйп]

NPcomplete в сообщении #270514 писал(а):

Подмножество Z ⊂ M метрического пространства называется открытым...

Что значит $Z \mathbin{\square} M$?

[NPcomplete]

Цитата:

Вам нужно прочесть книгу по основам общей топологии. В двух словах тут объяснить нельзя.

Да я, собственно, ее и читаю. Там это одно из первых определений :\

Цитата:

Неверно. Оно содержит шары радиуса меньше 1, ибо эти шары состоят из одного элемента - своего центра.

Хм. Например, отрезок из вещественных чисел [1;2] тоже тогда будет открытым, т.к. 1 и 2 по краям содержат шары из одного элемента?
Заранее извиняюсь за дурацкий вопрос.

[Профессор Снэйп]

Если Вы рассматриваете двухэлементное пространство $\{ 0,1 \}$, то в нём шар радиуса $1/2$ с центром в нуле будет равен $\{ 0 \}$, так как $0$ --- единственная точка этого пространства, отстоящая от $0$ на расстояние $\leqslant 1/2$. А если Вы рассматриваете пространство-отрезок $[0,1]$, то там упомянутый шар равен отрезку $[0,1/2]$. Если пространство $\mathbb{R}$, то там этот шар равен отрезку $[-1/2,1/2]$. И так далее...

Нельзя говорить об открытости или замкнутости множества самого по себе, надо обязательно уточнять, в каком пространстве оно открыто (замкнуто). К примеру, множество $\{ 0 \}$ будет открыто в пространстве $\{ 0,1 \}$ (ибо совпадает с открытым шаром радиуса $1/2$, состоящим из точек, расстояние от которых до нуля строго меньше чем $1/2$) и не будет открытым в пространстве $[0,1]$.

[Виктор Викторов]

Всё это, конечно, так, как написал Профессор Снэйп. Но насколько проще было бы жить, если можно было бы рассмотреть топологическое пространство $\{ 0,1 \}$ и задать на нём ту топологию, какую хочется (в частности можно и индуцировать топологию из множества вещественных чисел).

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #270708 писал(а):

(в частности можно и индуцировать топологию из множества вещественных чисел).

Смотря как индуцировать. Если метрикой -- то это ровно то, что выше, а если собственно топологией -- то она будет пустой.

[NPcomplete]

Все, теперь понял. Я просто почему-то рассматривал открытость этих множеств относительно пространства рациональных чисел, где они закрыты. Оттого и тупил

[Профессор Снэйп]

NPcomplete в сообщении #270716 писал(а):

...где они закрыты.

Замкнуты

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #270713 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #270708 писал(а):

(в частности можно и индуцировать топологию из множества вещественных чисел).

Смотря как индуцировать. Если метрикой -- то это ровно то, что выше, а если собственно топологией -- то она будет пустой.

Рассмотрим множество вещественных чисел со стандартной топологией. Если индуцировать эту топологию на множество $\{ 0,1 \}$, то получаем дискретную топологию на $\{ 0,1 \}$ (само множество $\{ 0,1 \}$, пустое множество, $\{ 0 \}$ и $\{ 1 \}$).
Что такое пустая топология, я не знаю. Поделитесь, пожалуйста.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #270713 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #270708 писал(а):

(в частности можно и индуцировать топологию из множества вещественных чисел).

Смотря как индуцировать. Если метрикой -- то это ровно то, что выше, а если собственно топологией -- то она будет пустой.

Это как? Мне казалось, что пустой топологии по определению быть не может. Топология суть семейство открытых множеств, а пустое множество и множество, равное всему пространству, всегда открыты.

Та же самая дискретная топология будет, хоть как индуцируй: хоть топологией, хоть метрикой.

-- Сб дек 12, 2009 22:25:11 --

(Оффтоп)

Мы с Виктор Викторов синхронно думаем :)

-- Сб дек 12, 2009 22:28:23 --

to NPcomplete: пожалуйста, набирайте формулы в \TeX. А то Вы копипастите, а я вместо $Z \subseteq M$ (или $Z \subset M$, могу лишь догадываться) вижу $Z \mathbin{\square} M$.