Пустое множество - подмножество любого множества?

[Lyosha]

Для чего понадобилось считать пустое множество подмножеством любого множества?Ведь используя определение подмножества нельзя установить,что пустое множество является частью какого-либо другого множества.
Впрочем,нельзя установить и обратное.Как изменилось бы лицо математики если бы считалось,что пустое множество не является частью никакого другого множества?

[ИСН]

Лицо изменилось бы ужасно: нос дырками кверху. В дождь неудобно, и люди смеются.
Ну смотрите, каждое множество - оно подмножество самого себя? Так. А своего объединения с кем-нибудь? Да, вроде тоже подмножество. А...

[Lyosha]

ИСН!А...дальше что?

[ShMaxG]

Lyosha
http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth

[Lyosha]

ShMaxG
К сожалению,по-английски практически ничего не понимаю!

[ИСН]

А, говорю я, объединение пустого множества с любым другим покажите-ка мне! Да вот оно и есть, говорят: само то множество. Но так, значит, пустое множество "в нём" должно быть, ведь я же его только что сюда клал!

[Lyosha]

ИСН
А если из этого множества вычесть пустое множество получится то же самое множество.И как же оно в нём содержится,если его только что изъяли?Ваш пример не убеждает.

[Xaositect]

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

Ведь используя определение подмножества нельзя установить,что пустое множество является частью какого-либо другого множества

У Вас какое-то странное определение подмножества.

[Lyosha]

Xaositect
Определение самое обычное.Если каждый элемент множества А является также и элементом множества В,то говорят,что множество А есть подмножество,или часть,множества В.(А.В. Гладкий,"Математическая логика",Москва 1998,с.22)

[ShMaxG]

Но у пустого множества нет элементов, значит то, что любой его элемент лежит в другом множестве - верно (просто у этой импликации посылка ложна, а из лжи следует что угодно). А так это понимаю.

-- Сб дек 12, 2009 02:34:48 --

Пример (из википедии): если в комнате нет телефонов, то все телефоны в комнате выключены

[Istego]

Для чего понадобилось считать пустое множество подмножеством любого множества?

Для удобного определения различных операций над множествами. Например, разности. Формальность.

Более важный вопрос. Зачем нужен нуль? Как изменилось бы лицо математики если бы не было нуля?

[Lyosha]

ShMaxG
Однако,эта импликация будет истинна и в том случае,если заключение будет ложно,т.е пустое множество не содержится ни в каком множестве.

Вопрос не в том как это доказать(а это доказать невозможно),а в том,что изменится в математике при таком понимании.

-- Сб дек 12, 2009 04:14:47 --

Istego
И чем же такое понимание удобнее для определения операции вычитания для множеств?Вопрос не в том:нужно ли пустое множество.

[Sasha2]

А вообще ведь просто понимается, если посмотреть на определение подмножества с другой стороны.
Некоторое множество является подмножеством другого множества, если всякий элемент, не входящий во второе, не входит и в первое.
Это непосредственно следует из определения подмножества, так что можно сказать, что они эквивалентны.
Ну и вот берем любое множество и любой элемент, ему не принадлежащий. Он также не принадлежит и пустому. Следовательно пустое множество есть подмножество любого множества.
Воот такое стечение обстоятельств, правила логики и природа пустого множества делают его подмножеством любого множества.

[Профессор Снэйп]

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

Ведь используя определение подмножества нельзя установить,что пустое множество является частью какого-либо другого множества.

Как раз можно.

[12d3]

Lyosha в сообщении #270511 писал(а):

Вопрос не в том как это доказать(а это доказать невозможно),а в том,что изменится в математике при таком понимании.

Согласны, что $(A \cap B) \subset A$? Вроде вполне очевидная вещь. А в вашем хитром понимании это будет неверно.