Три пружины и два тела

[schastie506]

Помогите, пожалуйста, составить уравнение для задачи: три пружины и два тела. одна пружина закреплена к левому краю и соединена с телом массой m1, вторая соединена с телом m1 и m2, третья - с телом m2 и закреплена правым краем. длина каждой пружины в нерастяженном состоянии равна а. В начальный момент времени тело m1 отклонили на 1,5 и придали скорость 0,1, а второе тело неподвижно.

[ewert]

Введите две переменные: смещение первого тела от своего положения равновесия и второго -- от своего. Напишите закон Гука для каждого тела, учитывая, что на него действуют пружины как слева, так и справа. Получите систему из двух дифференциальных уравнений для двух неизвестных функций. А одно уравнение -- ни в жисть не получите.

Впрочем, и систему тоже не получите, пока не зададите жёсткости.

[schastie506]

огромное спасибо, я составила два таких уравнения, но решить их не получается, жесткость левой пружины k, центральной k0, правой k

-- Пт дек 11, 2009 16:16:30 --

получилось m1*x" = k*(x0-x)-k0*(y-y0-x+x0)
и m2*y" = k0*(y-y0-x+x0)-k*(y-y0)

-- Пт дек 11, 2009 16:17:57 --

а вот как их решить, ума не приложу, и так пробовола и так, все равно не получается

[ewert]

У Вас получится система вида

$$\begin{cases} x_1''=a_{11}x_1+a_{12}x_2 \\ x_2''=a_{21}x_1+a_{22}x_2 \end{cases} $$

(кстати, посмотрите, как эта формула кодируется). Выразите, например, $x_2$ из первого уравнения через $x_1$ и подставьте во второе. Получится дифуравнение четвёртого порядка. Характеристическое уравнение для него будет биквадратным, поэтому корни легко выписываются. Ими окажутся две разных пары взаимно сопряжённых чисто мнимых чисел. Поэтому общее решение будет представлять собой произвольную комбинацию четырёх функций -- синусов и косинусов с двумя разными частотами. Потом подставьте полученное $x_1$ в выписанное ранее выражение $x_2$ через $x_1$.

(А вот если бы система была симметричной -- с одинаковыми не только крайними пружинами, но и массами -- то задача легко решалась бы и без составления системы, просто из соображений симметрии.)

[schastie506]

То что вы написали, мне все понятно, только когда задачу я показывала преподавателю, он сказал что колебания двух тел будет происходить с одинаковой частотой! Как такое возможно?

[ewert]

schastie506 в сообщении #270265 писал(а):

То что вы написали, мне все понятно, только когда задачу я показывала преподавателю, он сказал что колебания двух тел будет происходить с одинаковой частотой! Как такое возможно?

Такое никак невозможно. Или преподаватель Вас нагло обманул -- или Вы переврали условия задачи.

Во-первых, в этой системе колебания (вообще говоря) будут происходить непременно с двумя разными частотами. Иначе нарушается закон сохранения энергии.

Во-вторых, колебания с только одной частотой всё-таки возможны, но -- только в исключительных случаях, только при очень специально заданных начальных условиях.

Так вот. При указанных Вами начальных условиях колебания с только одной частотой -- заведомо невозможны.

И очень просто почему. В начальный момент второй шарик покоится в точке своего равновесия. Ну так он и будет продолжать там покоиться -- раз уж колеблется по чистой синусоиде (не важно с какой фазой). Но тогда и первый шарик не имеет права колебаться -- иначе переменное растяжение центральной пружины заставляло бы колебаться второй шарик.

[schastie506]

Еще раз огромное спасибо! Вы очень мне помогли!

[John Neal]

А можете ещё мне помочь?
У меня примерно та же самая задача, только найти нужно частоты.

Вопрос 1: после того, как решаю дифференциальное уравнение я получаю две пары слагаемых (sin и cos) с двумя разными частотами. Это и есть частоты колебаний первого и второго тела? То есть, я их должен просто взять и выдернуть из получившегося выражения?

Вопрос 2: если я правильно понимаю, то синус там не $\sin(\omega)$, a $\sin(\omega t)$. И тогда, чтобы получить частоту, мне нужно выражение под синусом разделить на $t$. Верно?

Вопрос 3: можем ли мы за $x_1$ принять отклонение первого тела от начального состояния? Ну а для второго - $x_2$. Производные тогда не теряют своего смысла скорости и ускорения, и мы можем их брать и составлять с ними уравнения. Но тогда у нас получается две системы отсчёта: у одной начало координат в начальном положении первого тела, у второй - в начальном положении второго тела.

[zer0]

ewert в сообщении #270354 писал(а):

schastie506 в сообщении #270265 писал(а):

То что вы написали, мне все понятно, только когда задачу я показывала преподавателю, он сказал что колебания двух тел будет происходить с одинаковой частотой! Как такое возможно?

Такое никак невозможно. Или преподаватель Вас нагло обманул -- или Вы переврали условия задачи.

Или переврали слова преподавателя. :) Есть две моды колебаний, в каждой из который оба тела колеблются с частотой этой моды. Для данной задачи обе моды активны.