Не получается неравенство

[Sasha2]

Вот есть такая задача:
Доказать неравенство
$\sqrt{a+\frac{1}{4}\cdot{\frac{(b-c)^2}{2}}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq{\sqrt{3}}$, если $a,b,c$ положительные числа, такие что $a+b+c=1$

К задаче есть такое указание:
Учесть, что при данных условиях $\sqrt{a+\frac{1}{4}\cdot{\frac{(b-c)^2}{2}}}\leq{a+\frac{b+c}{2}}$

Если попытаться в лоб применить это указание, то получается, что нужно доказать неравенство

$a+\frac{b+c}{2}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq{\sqrt{3}}$
А оно уже точно не выполняется при $a=b=c=\frac{1}{3}$.
Пока непонятно, как доказать.

[Полосин]

Докажите, что $\sqrt{b}+ \sqrt{c}\le2\sqrt{\frac{b+c}2-\frac{(b-c)^2}{16}}$ (удобно обозначить $d_\pm=(b \pm c)/2$), затем воспользуйтесь неравенством Коши-Буняковского $A+B+C\le\sqrt3\sqrt{A^2+B^2+C^2}$.

[Sasha2]

Спасибо, несмотря на то, что я еще и ошибся, написав лишнюю двойку под корнем в знаменателе, но тем не менее, все равно идея настолько сильна, что вполне хватает и на то, чтобы доказать, что

$\sqrt{b}+\sqrt{c}<2\sqrt{\frac{b+c}{2}-\frac{(b-c)^2}{8}}$

А дальше уже, как по Вашему тексту.