Разложение функции в степенной ряд

[KocTuK]

1) Имеется функция:
$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}$
даже не знаю с чего здесь начать. Ответ от сюда я знаю, но задача у меня разобраться.
$f(x)=\frac{1}{6}-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{3^n+1}) x^n$
Первое, что приходит в голову, это разложить дробь на несколько более простых:
$f(x)=\frac{x(x-3)}{(x-3)(x-2)}+\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{x}{(x-2)}+\frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x-2)}$
Если начал верно, то как быть дальше? Самый близкий к получившемуся известный ряд это 1/(1-х)

[ewert]

ну, допустим, буквально так (в принципе так, конечно, а цифирки проверять лень). Выделите из первой дроби целую часть. У Вас получится константа плюс две дроби. Ну и раскладывайте каждую из дробей как геометрическую прогрессию (предварительно вынеся в знаменателях, конечно, за скобки минус двойку и минус тройку).

Кстати -- раскладывали Вы бессознательно. Есть шаблон: сперва (раз дробь неправильная) выделить целую часть, а потом раскладывать на простейшие остаток, делённый на знаменатель.

[KocTuK]

ewert в сообщении #268600 писал(а):

раскладывайте каждую из дробей как геометрическую прогрессию

вот об этом, если можно, попродобней я не пойму, каким образом ее тут применять.

[ewert]

Что значит как?... Вы не знаете, как представить в виде суммы геометрической прогрессии $\dfrac{1}{1-{x\over3}}$?...

[KocTuK]

Поделил:
$f(x)=1+\frac{11}{x-3}-\frac{9}{x-2}$
с геом.прогрессией в таком виде наглядней, но всеравно смутно все.. тогда:
$S_n=a_1\frac{1-\frac{x}{3}^n}{1-\frac{x}{3}}=\frac{1-\frac{x}{3}^n}{1-\frac{x}{3}}$
в точке х(0)=0 по первой и второй дробям тогда имеем сумму просто:
$S_n1=-\frac{11}{3}(1-\frac{1}{3^n}x^n)$
$S_n2=-\frac{9}{2}(1-\frac{1}{2^n}x^n)$
я правильно понял ?
уже похоже на ответ, но в нем нету вынесенных нами коэфицентов 11 и 9, куда они там делись?

[Sonic86]

блин, бесконечная геометрическая прогрессия $\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+...$

[ewert]

KocTuK в сообщении #268606 писал(а):

но в нем нету вынесенных нами коэфицентов 11 и 9, куда они там делись?

А откуда они взялись?... Раньше разложение было хоть и не то, но зато правильное.

[KocTuK]

по методу неопределенных коэфицентов.. после деления многочленов получилась еденица + дробь, которую я и разложил на элементарные. посчитано вроде правильно, при сложение дробей получается исходное выражение.

[gris]

Вот по тому же методу неопределённых коэффициентов из тождества
$1+ax+a^2x^2+a^3x^3 + \cdots=\dfrac 1 {1-ax}=\dfrac {-1/a} {x-1/a}$
найдите $a$ для представления Ваших элементарных дробей в виде ряда. 11 и 9 - неправильно.

Кстати, показатель степени, если он больше одного символа, надо заключать в фигурные скобки: $2^{n+1}$

[KocTuK]

не понял..
$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{(x-3)(x-2)}=1+\frac{11}{x-3}-\frac{9}{x-2}$
многочлены на цело не делятся, имеем остаток, раскладываем его методом неопределенных коэфицентов и получается как есть. разложение едино и верно, уже 3 раза пересчитал. может опять что-то лишнее сделал или они как-то уходят потом?

[gris]

$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x-5}{x^2-5x+6}$

[ewert]

KocTuK в сообщении #268845 писал(а):

$\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{(x-3)(x-2)}=1+\frac{11}{x-3}-\frac{9}{x-2}$
многочлены на цело не делятся, имеем остаток, раскладываем его методом неопределенных коэфицентов и получается как есть.

Да не получается "как есть". Приведите к общему знаменателю -- и убедитесь в обратном. Ищите арифметическую ошибку.

(подсказка -- она во втором уж выражении)

[KocTuK]

a для рядов у меня получились 3 и 2 соотвественно, и я их учел..)
кстати, 1+11/3-9/2 = 1/6 , как раз первый член ряда
$f(x)=1+\frac{11}{3}(1-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{1}{3^n})-\frac{9}{2}(1-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{1}{2^n})) x^n=\frac{1}{6}-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{9}{2^n+1}+\frac{11}{3^n+1}) x^n$

-- Пн дек 07, 2009 20:16:52 --

2x-5.. нашел ошибку) да, тогда коэфиценты действительно еденицы и все получается,всем спасибо