2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 01:47 


05/12/09
17
1) Имеется функция:
$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}$
даже не знаю с чего здесь начать. Ответ от сюда я знаю, но задача у меня разобраться.
$f(x)=\frac{1}{6}-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{3^n+1}) x^n$
Первое, что приходит в голову, это разложить дробь на несколько более простых:
$f(x)=\frac{x(x-3)}{(x-3)(x-2)}+\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{x}{(x-2)}+\frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x-2)}$
Если начал верно, то как быть дальше? Самый близкий к получившемуся известный ряд это 1/(1-х)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 01:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ну, допустим, буквально так (в принципе так, конечно, а цифирки проверять лень). Выделите из первой дроби целую часть. У Вас получится константа плюс две дроби. Ну и раскладывайте каждую из дробей как геометрическую прогрессию (предварительно вынеся в знаменателях, конечно, за скобки минус двойку и минус тройку).

Кстати -- раскладывали Вы бессознательно. Есть шаблон: сперва (раз дробь неправильная) выделить целую часть, а потом раскладывать на простейшие остаток, делённый на знаменатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 02:08 


05/12/09
17
ewert в сообщении #268600 писал(а):
раскладывайте каждую из дробей как геометрическую прогрессию

вот об этом, если можно, попродобней :) я не пойму, каким образом ее тут применять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 02:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Что значит как?... Вы не знаете, как представить в виде суммы геометрической прогрессии $\dfrac{1}{1-{x\over3}}$?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 02:42 


05/12/09
17
Поделил:
$f(x)=1+\frac{11}{x-3}-\frac{9}{x-2}$
с геом.прогрессией в таком виде наглядней, но всеравно смутно все.. тогда:
$S_n=a_1\frac{1-\frac{x}{3}^n}{1-\frac{x}{3}}=\frac{1-\frac{x}{3}^n}{1-\frac{x}{3}}$
в точке х(0)=0 по первой и второй дробям тогда имеем сумму просто:
$S_n1=-\frac{11}{3}(1-\frac{1}{3^n}x^n)$
$S_n2=-\frac{9}{2}(1-\frac{1}{2^n}x^n)$
я правильно понял ?
уже похоже на ответ, но в нем нету вынесенных нами коэфицентов 11 и 9, куда они там делись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 08:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
блин, бесконечная геометрическая прогрессия $\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 09:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
KocTuK в сообщении #268606 писал(а):
но в нем нету вынесенных нами коэфицентов 11 и 9, куда они там делись?

А откуда они взялись?... Раньше разложение было хоть и не то, но зато правильное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 18:57 


05/12/09
17
по методу неопределенных коэфицентов.. после деления многочленов получилась еденица + дробь, которую я и разложил на элементарные. посчитано вроде правильно, при сложение дробей получается исходное выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Вот по тому же методу неопределённых коэффициентов из тождества
$1+ax+a^2x^2+a^3x^3 + \cdots=\dfrac 1 {1-ax}=\dfrac {-1/a} {x-1/a}$
найдите $a$ для представления Ваших элементарных дробей в виде ряда. 11 и 9 - неправильно.

Кстати, показатель степени, если он больше одного символа, надо заключать в фигурные скобки: $2^{n+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 20:02 


05/12/09
17
не понял..
$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{(x-3)(x-2)}=1+\frac{11}{x-3}-\frac{9}{x-2}$
многочлены на цело не делятся, имеем остаток, раскладываем его методом неопределенных коэфицентов и получается как есть. разложение едино и верно, уже 3 раза пересчитал. может опять что-то лишнее сделал или они как-то уходят потом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x-5}{x^2-5x+6}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 20:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
KocTuK в сообщении #268845 писал(а):
$\frac{x^2-3x+1}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{x^2-5x+6}=1+\frac{2x+5}{(x-3)(x-2)}=1+\frac{11}{x-3}-\frac{9}{x-2}$
многочлены на цело не делятся, имеем остаток, раскладываем его методом неопределенных коэфицентов и получается как есть.

Да не получается "как есть". Приведите к общему знаменателю -- и убедитесь в обратном. Ищите арифметическую ошибку.

(подсказка -- она во втором уж выражении)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в степенной ряд
Сообщение07.12.2009, 20:13 


05/12/09
17
a для рядов у меня получились 3 и 2 соотвественно, и я их учел..)
кстати, 1+11/3-9/2 = 1/6 , как раз первый член ряда
$f(x)=1+\frac{11}{3}(1-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{1}{3^n})-\frac{9}{2}(1-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{1}{2^n})) x^n=\frac{1}{6}-\sum\limits_{n=0}^\infty(\frac{9}{2^n+1}+\frac{11}{3^n+1}) x^n$

-- Пн дек 07, 2009 20:16:52 --

2x-5.. нашел ошибку) да, тогда коэфиценты действительно еденицы и все получается,всем спасибо :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group