Разложение функции в степенной ряд(Ряд тейлора)

[KocTuK]

$f(x) = \frac{ln(1+3x)}{1-x}$
Необходимо разложить функцию в степенной ряд по степеням Х. 1/(1-x) и ln(1+3х) поотдельности разложить могу, здесь же их произведение вызывает затрудение Можно конечно в лоб перемножить и рассчитать коэфиценты нового ряда, но думаю, что здесь должен быть и другой способ. Помогите разобраться

[Фантом]

KocTuK в сообщении #268527 писал(а):

Можно конечно в лоб перемножить и рассчитать коэфиценты нового ряда, но думаю, что здесь должен быть и другой способ.

А почему бы не воспользоваться просто определением? Если требуется разложение в окрестности x=0 (насколько я понимаю), то
$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \, x^k$

[KocTuK]

при х(0)=0 в функциюю имеем Ln(1), тогда ряд получается такой ?
$f(x)= х +...+(-1)^n\frac{x^n}{n!}$

[garin99]

Найдите производную и замените в ней $\ln (1+3x)$ на $f(x)(1-x)$. Тогда пусть $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kx^k$, подставим данный ряд вместо функции в полученное ранее выражение. В результате получим рекуррентную формулу $a_{k+1}=a_k+(-1)^k3^{k+1}\frac{1}{k+1}$. Дальше всё просто.

В спешке потерял знаменатель, поправил формулу.

[KocTuK]

не понял, откуда у тебя получилось 3^(k+1). у меня производная получилась:
$ \frac{\frac{1-x}{(3x+1)}+ln(3x+1)}{(1-x)^2} $
после замены соотвественно:
$ \frac{\frac{1-x}{3x+1}+f(x)(1-x)}{(1-x)^2}$
суть того, что ты предложил, я понял, но если брать точку х(0)=0 получается a(k) = 1 + a(k+1)

[garin99]

$ f'(x)=\frac{3\frac{1-x}{(3x+1)}+ln(3x+1)}{(1-x)^2} $
$f'(x)(1-x)-f(x)=\frac{3}{1+3x}$
$f'(x)(1-x)-f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k3^{k+1}x^k$

[KocTuK]

воот, теперь все ясно) спасибо

[KocTuK]

а разве реккурентная формула здесь должна не от (n+1) производной находится?