Множество точек

[daogiauvang]

Точка $ x \in [0,1]$ называется быть хорошей точкой, если для любого отрезка $[a,b] \subset [0,1]$ существует натуральное число $n$, такое что

$$\left \{ 2^n x\right \} \in [a,b] $$

(где $\left \{ \cdot\right \}$ является дробной частью функций).
Докажите, что существует бесконечно много хороших точек.

[venco]

А не надо ли исключить случай $a=1$?

-- Ср дек 02, 2009 13:20:13 --

Да и вообще, $a=b$.Не, это как раз не мешает.

[ИСН]

Подойдёт любое число, нормальное по основанию 2 - т.е. такое, что в его двоичной записи встречаются все конечные последовательности, да не просто встречаются, а... (неважно, нам хватит и этого).
Таковы "почти все" числа, но - - -

[venco]

venco в сообщении #267584 писал(а):

А не надо ли исключить случай $a=1$?

-- Ср дек 02, 2009 13:20:13 --

Да и вообще, $a=b$.Не, это как раз не мешает.

Всё-таки мешает.
Надо добавить условие $a<b$.

[daogiauvang]

исн, я Вас плохо понимаю... можно подробнее решение!

[gris]

Гораздо нагляднее для обычных людей рассмотреть "изоморфную" задачу

... такое что $\left \{ 10^n x\right \} \in [a,b] $.

Хорошесть числа будет означать, что оно, например, такое
0.1234567891011121314151617181920212223....

То есть чтобы в нём нашлось место, с которого начинается любое количество нулей, а потом любое натуральное число.

Вот это число будет хорошим. А если начать после запятой вбивать девятки, то мы получим бесконечное их число.

А вот доказать, что количество хороших чисел несчётно тоже можно.

[venco]

daogiauvang в сообщении #267993 писал(а):

исн, я Вас плохо понимаю... можно подробнее решение!

Возьмём число в двоичной записи (пробелы для наглядности): $s = 0.0\ 1\ 00\ 01\ 10\ 11\ 000\ 001\ 010\ 011\ 100\ 101\ 110\ 111\ ...$
Теперь для любых чисел $0 \le a < b \le 1$ найдутся такие целые $m, k, 0 \le k \le 2^m$, что $a < \frac{k}{2^m} < \frac{k+1}{2^m} < b$.
Тогда надо домножить $s$ на степень двойки так, чтобы двоичная запись $\{2^n s\}$ начиналась с $m$ бит числа $k$. Полученное число будет принадлежать отрезку $[a,b]$.
Таким образом точка $s$ - хорошая.
Из неё можно получить сколько угодно других хороших точек делением на степени двойки.

-- Пт дек 04, 2009 10:40:31 --

gris в сообщении #267999 писал(а):

А вот доказать, что количество хороших чисел несчётно тоже можно.

Для этого достаточно вставить в промежутки биты любого действительного числа.
Правда, надо ещё доказать, что количество совпадений будет относительно мало...