задача Больца (вариационное исчисление)

[ht1515]

$$\Delta I=\int_0^1\dot h_1\dot h_2\,dt+h_1(0)h_2(1)+h_1(1)h_2(0)$$

При решении задачи Больца(вариационное исчисление, исследование на экстремум) Дельта И получается таким. Что нужно сделать дальше чтобы понять точка минимума там или максимума?

[ht1515]

ну что ? Никак ? Или инфы не хватает?

[AD]

Цитата:

В случае закрытия темы или перемещения ее в карантин пользователю категорически запрещается создавать новую тему, дублирующую или логически продолжающую исходную, без согласования с модератором раздела или администратором.

Но раз уж новая тема, в отличие от старой, оформлена по правилам, то ладно уж, живите. Но освоить $\TeX$ Вам придётся, без этого тут никуда, и, между прочим, школьники за 10 минут разбираются.

Цитата:

Также напоминаем о недопустимости искусственного поднятия темы за счет неинформативных сообщений. Это является нарушением правил. Возможно, Вам просто не повезло, и в настоящее время на форуме нет специалиста, способного ответить на вопрос, или он занят другими делами. А возможно, что Вы не сумели заинтересовать участников форума своим вопросом или задали его в слишком общем виде. В любом случае не забывайте, что никто никому ничего здесь не должен.

Это всё правила форума, ht1515, но Вы их почему-то упорно не читаете. Да знаю я, что "многа букав"
_________________

А если по теме, то подставьте, например, $h_1(t)=\varepsilon t$, $h_2(t)=\pm\varepsilon t$, и посмотрите, что выйдет.

[ht1515]

Извиняюсь.
Я если честно не математик вовсе. И если и иметь должен отношение к ней ,то только к дискретной.
В ВИ слабо шарю.

Цитата:

А если по теме, то подставьте и посмотрите, что выйдет.

Не совсем понял куда подставить. Просто когда(как я понимаю) задача Больца решается в конце нужно найти

$$\Delta I$$

,как разницу

$$\Delta I=I[x+h]-I[x]$$

где h это просто приращение. И надо потом проанализировать

$$\Delta I$$

(исследование на экстремум).
И у меня такая лапша получилась. Если бы под интегралом

$$h^2$$

было бы,то понятно что выражение

$$\Delta I>0$$

и поэтому там точка минимума. А тут не понятно что.

[AD]

ht1515 в сообщении #267679 писал(а):

Не совсем понял куда подставить.

В $\Delta I$.

-- Чт дек 03, 2009 11:44:53 --

ht1515 в сообщении #267679 писал(а):

Если ... $\Delta I>0$ ... там точка минимума. А тут не понятно что.

Да-да, именно так. А посмотрите, что бывает со знаком $\Delta I$ на самом деле и сделайте выводы.

-- Чт дек 03, 2009 12:00:38 --

Вообще, рекомендую мелкие формулы писать в одиночных долларах, тогда они не будут выпадать в отдельную строчку.

[druggist]

Откройте справочник по математике, найдите уравнения Зйлера-Лагранжа (случай функционала нескольких функций) и будет Вам счастье... Экстремали - прямые вида $h=(h(1)-h(0))t+h(0)$

[AD]

druggist, экстремали уже давно найдены. Тут речь идет о вопросе, являются ли они максимумами/минимумами.

[druggist]

Ах да, действительно, вопрос не об этом
Видимо, экстремума (минимума, максимума) не существует, поскольку ур-я Эйлера-Лагранжа дают только необходимое условие.

[AD]

druggist в сообщении #267740 писал(а):

Видимо, экстремума (минимума, максимума) не существует, поскольку ур-я Эйлера-Лагранжа дают только необходимое условие.

Утверждение верное, но объяснение странное

[druggist]

Почему же странное? Полученные с помощью ур-й Э-Л функции не доставляют экстремум функционалу, в этом можно убедиться непосредственно, рассматривая малые добавки к полученным решениям уравнений Э-Л.

[AD]

druggist в сообщении #267760 писал(а):

Полученные с помощью ур-й Э-Л функции не доставляют экстремум функционалу, в этом можно убедиться непосредственно, рассматривая малые добавки к полученным решениям уравнений Э-Л.

Это уже лучше, и я даже только что указал, какие именно

[ht1515]

Задача Больца

$\int_0^1\dot x_1\dot x_2+x_1x_2\,dt+x_1(0)x_2(1)+x_1(1)x_2(0) \mapsto extr$

Необходимые условия:

а) Уравнение Эйлера

$-\frac{dL_\dot x}{dt}} +L_x = 0$

$L_\dot x_1 = \dot x_2$
$L_\dot x_2 = \dot x_1$
$L_x_1 = x_2$
$L_x_2 = x_1$

Общее уравнение Эйлера

$\dot \dot x_2 -x_2 = 0$

$\dot \dot x_1 -x_1= 0$

$x_1= C_1e^t+C_2e^{- t}$

$\dot x_1=C_1e^t-C_2e^{- t}$

Для $x_2 $тоже самое будет,

$x_2= C_1e^t+C_2e^{-t}$

$\dot x_2=C_1e^t-C_2e^{-t}$


Из условий трансверсальности(для x2 тоже самое все, поэтому не буду его дублировать)

$x_1(0)= C_1+C_2$
$\dot x_1(0)= C_1-C_2$

$x_1(1)= C_1e+C_2e^{-1}$
$\dot x_1(1)= C_1e-C_2e^{-1}$


Дальше система 2 уравнений(знак системы не понял как сделать)

$C_1 - C_2= C_1 e + C_2 e^{-1}$
$- C_1 - C_2= C_1 e - C_2 e^{-1}$

система решится только если $C_1$ и $C_2$ будут равны нулю. И для $x_2$ также.

А это значит что x1 c крышей равно нулю и тоже $x_2 = 0$

Теперь мы должны рассчитать дельта и.

$\Delta I=I[x+h]-I[x]=\int_0^1 (x_1+h_1)(x_2+h_2)+(\dot x_1+\dot h_1)(\dot x_2+\dot h_2)\,dt=\int_0^1\dot h_1\dot h_2\,dt+h_1(0)h_2(1)+h_1(1)h_2(0)$

И после раскрытия скобок и удаления всех иксов(так как они равны нулю), получаем

$\Delta I=\int_0^1\dot h_1\dot h_2\,dt+h_1(0)h_2(1)+h_1(1)h_2(0)$

то есть если подставить в Уравнение $h_1(t)=\varepsilon t$ и $h_2(t)=\pm\varepsilon t$(кстати почему плюс минус?
Как это растолковать вообще? В том плане,что конкретно заменить чем. С плюсом или минусом).
Я не совсем понял как заменить.
Ну проэкспериметирую

$\Delta I=\int_0^1\dot (\varepsilon t)\dot (-\varepsilon t)\,dt+h_1(0)h_2(1)+h_1(1)h_2(0)$


$h_1(0)= \varepsilon t = 0 $так как t=0(я так понял)

что касается $h_1(1)= \varepsilon t = \varepsilon$

ну и с конце
$\Delta I=0$

И из этого

Цитата:

Полученные с помощью ур-й Э-Л функции не доставляют экстремум функционалу, в этом можно убедиться непосредственно, рассматривая малые добавки к полученным решениям уравнений Э-Л.

Я правильно понял???

[AD]

ht1515 в сообщении #267805 писал(а):

ну и с конце
$\Delta I=0$

Серьёзно? Интеграл-то почему нулю равен?

ht1515 в сообщении #267805 писал(а):

то есть если подставить в Уравнение $h_1(t)=\varepsilon t$ и $h_2(t)=\pm\varepsilon t$(кстати почему плюс минус?
Как это растолковать вообще? В том плане,что конкретно заменить чем. С плюсом или минусом).

Это значит разделить тетрадочку пополам, и на левой половине подставить с плюсом, а на правой - с минусом.
_________________

Еще парочка уроков по $\TeX$у. Точка над большим выражением: $\dot{(\varepsilon t)}$. Только уж лучше не выпендриваться и писать штрих: $(\varepsilon t)'$. Две точки: $\ddot x_1(t)$.

$\dot{(\varepsilon t)}$
$(\varepsilon t)'$
$\ddot x_1(t)$

[druggist]

(Оффтоп)

AD в сообщении #267851 писал(а):

Серьёзно? Интеграл-то почему нулю равен?

Чувствуется легкий преподавательский садизм

[AD]

(Оффтоп)

druggist в сообщении #267854 писал(а):

Чувствуется легкий преподавательский садизм

Это есть, да. Хоть я и не преподаватель.
Напоминаю, что таким садизмом пропитаны правила этого раздела