Доказать 5|pp ==> 5|p

[werd]

Какими способами можно доказать следующее?
(Простыми числами нельзя)
$ 5|p^2 => 5|p $

[Профессор Снэйп]

Простое число --- это способ?!

[werd]

Профессор Снэйп в сообщении #266715 писал(а):

Простое число --- это способ?!

если использовать индукцию и доказать что делитель можно разбить на простые числа.

[Профессор Снэйп]

Допустим, что $5$ не делит $p$. Тогда $p = 5k+n$, где $n$ от $1$ до $4$. Тогда $p^2 = \ldots$

-- Пн ноя 30, 2009 18:13:35 --

Другими словами, если десятичная запись числа $p$ не заканчивается на $5$ и на $0$, то может ли запись числа $p^2$ заканчиваться на одну из этих цифр?

[werd]

Профессор Снэйп в сообщении #266745 писал(а):

Допустим, что $5$ не делит $p$. Тогда $p = 5k+n$, где $n$ от $1$ до $4$. Тогда $p^2 = \ldots$

вот вот, в этом направлении.
Так как дальше?

[Профессор Снэйп]

А что непонятно дальше? $5k+n$ в квадрат возвести не можете?

[Sasha2]

Или еще так
Лемма 1: Для того, чтобы некоторое целое число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы оно оканчивалось на ноль или на 5.
Лемма 2: Квадрат всякого числа, не оканчивающегося на ноль или на пять, дает число, которое НЕ ОКАНЧИВАЕТСЯ НА НОЛЬ ИЛИ НА ПЯТЬ.
Лемма 3: Квадрат всякого числа, оканчивающегося на ноль или на пять, есть такое же число.

[werd]

Профессор Снэйп в сообщении #267076 писал(а):

А что непонятно дальше? в квадрат возвести не можете?

в квадрат возвести вроде как умею, просто концовка всего доказательства ни как не предстанет моему пониманию.
Вы случайно не учитель дискретной математики?

Sasha2
Спасибо, только так я не могу доказать, потому как саму лемму нужно доказать.
Учитель принимает только то чему он учил или то что он имел ввиду, очень напоминает Профессора Снэйпа , мол ответ на вопрос очень прост что и сам разберёшься

[Sasha2]

Да леммы то я написал просто так, чтобы оформить рассуждения.
А на самом то деле, там ведь дальше таблицы умножения не идет.

[werd]

Профессор Снэйп
$ Допустим 5 !|p Тогда p =5c + b (1<=b<=4) $
$ значит 5 !|(5c + b)^2 $

проверим

$ 5 | 25c^2 + 10bc + b^2 $

$25c^2 $ -- делится
$10bc $ -- делится
$b^2 $ -- данно $(1<=b<=4) $ не делится!

А вот здесь как продолжить
поэтому $p =5c + b => b=0 => p =5c $
делится так как
$p =(5c)^2 => 25c^2 $
и $ 5 | 25c^2 $
???
и поэтому
$5|p^2 => 5|p $

[Sasha2]

Ну хорошо давайте так.
Если Ваше $p^2$ делится на 5, то оно заканчивается либо на ноль, либо на пять.
Далее последовательно проверяем,
1) Если число p заканчивается на 1, то $p^2$ заканчивается на 1.
2) Если число p заканчивается на 2, то $p^2$ заканчивается на 4.
3) Если число p заканчивается на 3, то $p^2$ заканчивается на 9.
4) Если число p заканчивается на 4, то $p^2$ заканчивается на 6.
5) Если число p заканчивается на 5, то $p^2$ заканчивается на 5.
6) Если число p заканчивается на 6, то $p^2$ заканчивается на 6.
7) Если число p заканчивается на 7, то $p^2$ заканчивается на 9.
8) Если число p заканчивается на 8, то $p^2$ заканчивается на 4.
9) Если число p заканчивается на 9, то $p^2$ заканчивается на 1.
10) Если число p заканчивается на 0, то $p^2$ заканчивается на 0.

Таким образом Вашим числом p может быть только число, заканчивающееся на 0 или на 5.

[Профессор Снэйп]

werd в сообщении #267138 писал(а):

Профессор Снэйп
$ Допустим 5 !|p Тогда p =5c + b (1<=b<=4) $
$ значит 5 !|(5c + b)^2 $

проверим

$ 5 | 25c^2 + 10bc + b^2 $

$25c^2 $ -- делится
$10bc $ -- делится
$b^2 $ -- данно $(1<=b<=4) $ не делится!

А вот здесь как продолжить
поэтому $p =5c + b => b=0 => p =5c $
делится так как
$p =(5c)^2 => 25c^2 $
и $ 5 | 25c^2 $
???
и поэтому
$5|p^2 => 5|p $

Читал, ничего не понял

Всё на самом деле проще некуда. Если $p = 5k + n$, то $p^2 = 25k^2 + 10kn + n^2 = 5(5k^2 + 2kn) + n^2$. Значит, $p^2$ делится на $5$ тогда и только тогда, когда $n^2$ делится на $5$. Однако числа $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$ на $5$ не делятся.

[werd]

Профессор Снэйп
Спасибо за помощь, но в конце всё равно не совсем так надо было.

[bot]

werd в сообщении #267567 писал(а):

но в конце всё равно не совсем так надо было.

Обломись профессор, мало доказать - ещё требуется, чтобы как надо было!