2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Неопределённый интеграл и интегрирование ''по частям''
Сообщение18.07.2006, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17990
Москва
В какой-то теме приводилась куча софизмов. Мне вспомнился один забавный. Ту тему я не нашёл, поэтому сделал отдельную.

Формулу $\int udv=uv-\int vdu$, конечно, все знают. Применим её к очень простому интегралу $\int\frac{dx}{x}$, при этом возьмём $u=\frac{1}{x}$, $dv=dx$. Тогда $du=-\frac{dx}{x^2}$, $v=x$. Подставляя в формулу интегрирования "по частям", получим $\int\frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x-\int x\cdot\left(-\frac{dx}{x^2}\right)$ или, после очевидных упрощений, $\int\frac{dx}{x}=1+\int\frac{dx}{x}$. Сокращая в этом равенстве одинаковые выражения в левой и правой частях, получим впечатляющий результат: $0=1$.

Изменил название темы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 16:00 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
Здорово, только неопределенные интегралы равны с точностью до константы.

А тема та здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование "по частям"
Сообщение18.07.2006, 16:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Someone писал(а):
Сокращая в этом равенстве одинаковые выражения в левой и правой частях, получим впечатляющий результат: $0=1$.

:evil: Ну вот, а Вы еще спорили :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 16:21 


12/02/06
110
Russia
:shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 18:33 
Аватара пользователя


28/06/06
138
photon писал(а):
Здорово, только неопределенные интегралы равны с точностью до константы.

А если заменить неопределённые интегралы- определёнными ? Противоречие разве исчезнет?


P.s
Вероятно не выполняются некоторые условия, для применимости данной формулы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 19:10 


11/07/06
201
Ну тогда вот еще "парадокс"...
$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$
С другой стороны:
$$\int\frac{dx}{x}=\int \frac{2dx}{2x}=\int \frac{d(2x)}{2x}=\ln|2x|+C.$$
Отсюда имеем: $\ln|x|=\ln|2x|$. :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 19:16 


11/07/06
201
Woland писал(а):
А если заменить неопределённые интегралы- определёнными ? Противоречие разве исчезнет?

Ну конечно исчезнет. Ведь $1\not =0$. Не так ли? А формула применима.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 19:34 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
Really писал(а):
Ну тогда вот еще "парадокс"...
$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$
С другой стороны:
$$\int\frac{dx}{x}=\int \frac{2dx}{2x}=\int \frac{d(2x)}{2x}=\ln|2x|+C.$$
Отсюда имеем: $\ln|x|=\ln|2x|$. :shock:


А если еще и записать
$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+\ln|C_1|$$
и $$\int\frac{dx}{x}=\int \frac{2dx}{2x}=\int \frac{d(2x)}{2x}=\ln|2x|+\ln|C_2|=\ln|2C_2x|.$$
Тогда $\ln|x|+\ln|C_1|=\ln|2C_2x|$, следовательно
$\ln|\frac{2C_2x}{C_1}|=\ln|x|$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.
Пусть $\frac{2C_2}{C_1}=D$, тогда $\ln|x|=\ln|Dx|$, где $D$- произвольная константа. Так что ли? :D Или сразу вместо двойки вписать какую-нибудь $a$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 20:24 
Аватара пользователя


28/06/06
138
Really писал(а):
Woland писал(а):
А если заменить неопределённые интегралы- определёнными ? Противоречие разве исчезнет?

Ну конечно исчезнет. Ведь $1\not =0$. Не так ли? А формула применима.


Прокомментируйте тогда пожайлуста:
Пусть:
$I=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$ положим:
$u=\frac{1}{x}$, $dv=dx$.
Тогда $du=-\frac{dx}{x^2}$, $v=x$.
$\int\limits_1^2\frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x-\int\limits_1^2 x\cdot\left(-\frac{dx}{x^2}\right)$
$\int\limits_1^2\frac{dx}{x}=\ 1+\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$.
Теперь, поскольку $I=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$ является определённым,
т.е. представляет совершенно конкретное число, а определённые интеграллы имеющие
одинаковые подинтегральные функции и одинаковые пределы, не на какую константу
друг от друга не рознятся, то:
$I=I+1$ и
$0=1$

В чём же проблемма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование "по частям"
Сообщение18.07.2006, 20:25 


19/07/05
243
Someone писал(а):
В какой-то теме приводилась куча софизмов. Мне вспомнился один забавный. Ту тему я не нашёл, поэтому сделал отдельную.

Формулу $\int udv=uv-\int vdu$, конечно, все знают. Применим её к очень простому интегралу $\int\frac{dx}{x}$, при этом возьмём $u=\frac{1}{x}$, $dv=dx$. Тогда $du=-\frac{dx}{x^2}$, $v=x$. Подставляя в формулу интегрирования по частям, получим $\int\frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x-\int x\cdot\left(-\frac{dx}{x^2}\right)$ или, после очевидных упрощений, $\int\frac{dx}{x}=1+\int\frac{dx}{x}$. Сокращая в этом равенстве одинаковые выражения в левой и правой частях, получим впечатляющий результат: $0=1$.

объясните технарю в чем же здесь фишка?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 20:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Неопределённый интеграл определён с точностью до константы. Если бы были определённые интегралы то эта константа бы не играла никакой роли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 20:37 


11/07/06
201
Woland писал(а):
Теперь, поскольку $I=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$ является определённым,
т.е. представляет совершенно конкретное число, а определённые интеграллы имеющие
одинаковые подинтегральные функции и одинаковые пределы, не на какую константу
друг от друга не рознятся, то:
$I=I+1$ и
$0=1$

В чём же проблемма?

Дело в том, что если интеграл определенный, то формула будет выглядеть так:
$$ \int\limits_{a}^{b}u\;dv=uv|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v\;du$$
В этом случае: $1|_{a}^{b}=0$ - и никакого противоречия не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 20:51 


19/07/05
243
Really писал(а):
Дело в том, что если интеграл определенный, то формула будет выглядеть так:
$$ \int\limits_{a}^{b}u\;dv=uv|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v\;du$$
В этом случае: $1|_{a}^{b}=0$ - и никакого противоречия не будет.

дамн, какой же я невнимательный :roll: Спасибо, Really

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.07.2006, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17990
Москва
Ну что, всех удовлетворило объяснение, что "неопределённые интегралы равны с точностью до константы"? Упражнения photonа показывают, что это объяснение не совсем удовлетворительно. Да и как быть вот с этим:
$$\int\frac{dx}x=\begin{cases}\ln(-x)+C_1\text{ при }x<0\text{,}\\ \ln x+C_2\text{ при }x>0\text{?}\end{cases}$$
Здесь две константы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.07.2006, 16:46 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Можно записать с одной константой $\ln |x| +C$, однако здесь надо иметь в виду, что при переходе к определённым интегралам оба конца должны быть с одной стороны разрыва (иначе отсутствует даже сходимость).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group