Неопределённый интеграл и интегрирование ''по частям''

[Someone]

В какой-то теме приводилась куча софизмов. Мне вспомнился один забавный. Ту тему я не нашёл, поэтому сделал отдельную.

Формулу $\int udv=uv-\int vdu$, конечно, все знают. Применим её к очень простому интегралу $\int\frac{dx}{x}$, при этом возьмём $u=\frac{1}{x}$, $dv=dx$. Тогда $du=-\frac{dx}{x^2}$, $v=x$. Подставляя в формулу интегрирования "по частям", получим $\int\frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x-\int x\cdot\left(-\frac{dx}{x^2}\right)$ или, после очевидных упрощений, $\int\frac{dx}{x}=1+\int\frac{dx}{x}$. Сокращая в этом равенстве одинаковые выражения в левой и правой частях, получим впечатляющий результат: $0=1$.

Изменил название темы.

[photon]

Здорово, только неопределенные интегралы равны с точностью до константы.

А тема та здесь

[Котофеич]

Someone писал(а):

Сокращая в этом равенстве одинаковые выражения в левой и правой частях, получим впечатляющий результат: $0=1$.

Ну вот, а Вы еще спорили

[vbn]

[Woland]

photon писал(а):

Здорово, только неопределенные интегралы равны с точностью до константы.

А если заменить неопределённые интегралы- определёнными ? Противоречие разве исчезнет?


P.s
Вероятно не выполняются некоторые условия, для применимости данной формулы.

[Really]

Ну тогда вот еще "парадокс"...

$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

С другой стороны:

$$\int\frac{dx}{x}=\int \frac{2dx}{2x}=\int \frac{d(2x)}{2x}=\ln|2x|+C.$$

Отсюда имеем: $\ln|x|=\ln|2x|$.

[Really]

Woland писал(а):

А если заменить неопределённые интегралы- определёнными ? Противоречие разве исчезнет?

Ну конечно исчезнет. Ведь $1\not =0$. Не так ли? А формула применима.

[photon]

Really писал(а):

Ну тогда вот еще "парадокс"...

$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

С другой стороны:

$$\int\frac{dx}{x}=\int \frac{2dx}{2x}=\int \frac{d(2x)}{2x}=\ln|2x|+C.$$

Отсюда имеем: $\ln|x|=\ln|2x|$.

А если еще и записать

$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+\ln|C_1|$$

и

$$\int\frac{dx}{x}=\int \frac{2dx}{2x}=\int \frac{d(2x)}{2x}=\ln|2x|+\ln|C_2|=\ln|2C_2x|.$$

Тогда $\ln|x|+\ln|C_1|=\ln|2C_2x|$, следовательно
$\ln|\frac{2C_2x}{C_1}|=\ln|x|$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.
Пусть $\frac{2C_2}{C_1}=D$, тогда $\ln|x|=\ln|Dx|$, где $D$- произвольная константа. Так что ли? Или сразу вместо двойки вписать какую-нибудь $a$

[Woland]

Really писал(а):

Woland писал(а):

А если заменить неопределённые интегралы- определёнными ? Противоречие разве исчезнет?

Ну конечно исчезнет. Ведь $1\not =0$. Не так ли? А формула применима.

Прокомментируйте тогда пожайлуста:
Пусть:
$I=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$ положим:
$u=\frac{1}{x}$, $dv=dx$.
Тогда $du=-\frac{dx}{x^2}$, $v=x$.
$\int\limits_1^2\frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x-\int\limits_1^2 x\cdot\left(-\frac{dx}{x^2}\right)$
$\int\limits_1^2\frac{dx}{x}=\ 1+\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$.
Теперь, поскольку $I=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$ является определённым,
т.е. представляет совершенно конкретное число, а определённые интеграллы имеющие
одинаковые подинтегральные функции и одинаковые пределы, не на какую константу
друг от друга не рознятся, то:
$I=I+1$ и
$0=1$

В чём же проблемма?

[Zo]

Someone писал(а):

В какой-то теме приводилась куча софизмов. Мне вспомнился один забавный. Ту тему я не нашёл, поэтому сделал отдельную.

Формулу $\int udv=uv-\int vdu$, конечно, все знают. Применим её к очень простому интегралу $\int\frac{dx}{x}$, при этом возьмём $u=\frac{1}{x}$, $dv=dx$. Тогда $du=-\frac{dx}{x^2}$, $v=x$. Подставляя в формулу интегрирования по частям, получим $\int\frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x-\int x\cdot\left(-\frac{dx}{x^2}\right)$ или, после очевидных упрощений, $\int\frac{dx}{x}=1+\int\frac{dx}{x}$. Сокращая в этом равенстве одинаковые выражения в левой и правой частях, получим впечатляющий результат: $0=1$.

объясните технарю в чем же здесь фишка?

[Руст]

Неопределённый интеграл определён с точностью до константы. Если бы были определённые интегралы то эта константа бы не играла никакой роли.

[Really]

Woland писал(а):

Теперь, поскольку $I=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}$ является определённым,
т.е. представляет совершенно конкретное число, а определённые интеграллы имеющие
одинаковые подинтегральные функции и одинаковые пределы, не на какую константу
друг от друга не рознятся, то:
$I=I+1$ и
$0=1$

В чём же проблемма?

Дело в том, что если интеграл определенный, то формула будет выглядеть так:

$$ \int\limits_{a}^{b}u\;dv=uv|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v\;du$$

В этом случае: $1|_{a}^{b}=0$ - и никакого противоречия не будет.

[Zo]

Really писал(а):

Дело в том, что если интеграл определенный, то формула будет выглядеть так:

$$ \int\limits_{a}^{b}u\;dv=uv|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v\;du$$

В этом случае: $1|_{a}^{b}=0$ - и никакого противоречия не будет.

дамн, какой же я невнимательный Спасибо, Really

[Someone]

Ну что, всех удовлетворило объяснение, что "неопределённые интегралы равны с точностью до константы"? Упражнения photonа показывают, что это объяснение не совсем удовлетворительно. Да и как быть вот с этим:

$$\int\frac{dx}x=\begin{cases}\ln(-x)+C_1\text{ при }x<0\text{,}\\ \ln x+C_2\text{ при }x>0\text{?}\end{cases}$$

Здесь две константы.

[Руст]

Можно записать с одной константой $\ln |x| +C$, однако здесь надо иметь в виду, что при переходе к определённым интегралам оба конца должны быть с одной стороны разрыва (иначе отсутствует даже сходимость).