Задачки для ферматиков

[grisania]

На форуме стало модно задавать ферматикам задачки. Я тоже не удержался.
Ферматики сильны в элементарной математике (ЭМ), поэтому мною предлагаемые задачки требует знания только ЭМ.
Задачки.
Следующие условия эквивалентны:
1. Уравнение $9{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{1}^{3}}=6xy$ не имеет решения за исключением $x=0$, $y=-1$.
2. Уравнение $9{{x}^{3}}+{{y}^{3}}-{{1}^{3}}=6xy$ не имеет решения за исключением $x=0$, $y=1$.
3. Уравнение ${{x}^{3}}+3{{y}^{3}}+3=6xy$ не имеет решения за исключением $x=0$, $y=1$.
4. Уравнение ${{x}^{3}}+3{{y}^{3}}+3=6xy$ не имеет решения за исключением $x=0$, $y=-1$.
5. Уравнение ${{x}^{3}}+3{{y}^{3}}-3=6xy$ не имеет решения за исключением $x=0$, $y=1$.
6. Уравнение $1+3{{x}^{3}}={{y}^{3}}$ не имеет решения за исключением $x=\pm 1$, $y=1$.
7. Уравнение ${{\left( k+1 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{y}^{3}}$ не имеет решения за исключением $k=-1$, $y=1$ и $k=0$, $y=1$.

Случаи 1-4 несложны, а вот остальные сложнее, но доступны ферматикам c превосходными знаниями ЭМ.
Эти случаи эквивалентны уравнениям Туэ:
8. Уравнение ${{u}^{3}}-9{{u}^{2}}v-9u{{v}^{2}}+9{{v}^{3}}=1$ не имеет решения за исключением $u=-1$, $v=0$.
9. Уравнение ${{u}^{3}}-3u{{v}^{2}}+{{v}^{3}}\,=3$ не имеет решения за исключением $u=-1$, $v=1$.

Здесь все посложней, но доступны продвинутым ферматикам. Уравнение 9 известно профессионалом, но доказывается ими не элементарно. По крайней мере я не нашел его элементарное доказательство, т.е сведением к одному из случаев 1-7. Доказать 8<=>9 можно элементарно и доступно ферматикам.

PS (в русской раскладке ЗЫ).
Заметим, что если искать решения в поле рациональных чисел, то все эти случаи эквивалентны ВТФ для тройки.