корни из единицы в группе

[RIP]

Помогите, пожалуйста: туплю.
Пусть $G$ --- конечная группа, $d$ --- делитель $|G|$. Доказать, что количество "корней из единицы степени $d$" в $G$ (т.е. решений уравнения $g^d=e$, $g\in G$, где $e$ --- единица группы) делится на $d$.

[Профессор Снэйп]

Может, попробовать представить $G$ в виде объединения циклических подгрупп и по формуле включений-исключений?

[RIP]

Отбой, я нашёл эту теорему. Оказывается, это частный случай следующего утверждения.
Frobenius' theorem. Let $G$ be a group of order $g$. Then the number of elements in $G$ with $n$th power equal to a given element $A\inG$, is divisible by the greatest common divisor of the numbers $n$ and $v$, where $v$ is the number of elements permutable with $A$ (consequently $g/v$ is the number of elements conjugate with $A$).
Т.е. единицу в первом посте можно заменить на любой элемент центра группы.

[Профессор Снэйп]

А сложно доказывается? Что используется?

[RIP]

В этой книжке на сс. 91--93. Док-во элементарное (но хитрое), из нетривиальных фактов используется только теорема Силова.

(Оффтоп)

Больше года эта задача не давала мне покоя. Наконец-то можно вздохнуть спокойно.