2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 корни из единицы в группе
Сообщение27.11.2009, 02:15 
Аватара пользователя
Помогите, пожалуйста: туплю.
Пусть $G$ --- конечная группа, $d$ --- делитель $|G|$. Доказать, что количество "корней из единицы степени $d$" в $G$ (т.е. решений уравнения $g^d=e$, $g\in G$, где $e$ --- единица группы) делится на $d$.

 
 
 
 Re: корни из единицы в группе
Сообщение28.11.2009, 16:09 
Аватара пользователя
Может, попробовать представить $G$ в виде объединения циклических подгрупп и по формуле включений-исключений?

 
 
 
 Re: корни из единицы в группе
Сообщение28.11.2009, 19:17 
Аватара пользователя
Отбой, я нашёл эту теорему. Оказывается, это частный случай следующего утверждения.
Frobenius' theorem. Let $G$ be a group of order $g$. Then the number of elements in $G$ with $n$th power equal to a given element $A\inG$, is divisible by the greatest common divisor of the numbers $n$ and $v$, where $v$ is the number of elements permutable with $A$ (consequently $g/v$ is the number of elements conjugate with $A$).
Т.е. единицу в первом посте можно заменить на любой элемент центра группы.

 
 
 
 Re: корни из единицы в группе
Сообщение28.11.2009, 19:22 
Аватара пользователя
А сложно доказывается? Что используется?

 
 
 
 Re: корни из единицы в группе
Сообщение28.11.2009, 19:34 
Аватара пользователя
В этой книжке на сс. 91--93. Док-во элементарное (но хитрое), из нетривиальных фактов используется только теорема Силова.

(Оффтоп)

Больше года эта задача не давала мне покоя. Наконец-то можно вздохнуть спокойно. :)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group