задачи по геометрии, 1 курс

[Marisha]

1. Записать уравнение круговой цилиндрической поверхности радиуса 1, ось которой проходит через точки (0,0,0) и (1,1,1).
Не может же полчиться так: х+у=1?
2.Доказать, что если АА1+ВВ1+СС1=0 (имеются в виду векторы), где АА1,ВВ1, СС1 - биссектрисы треугольника, то треугольник правильный.
Поможет ли мне понятие вписанной и описанной окружности в данной задачи?.
3. Найти координаты фокуса параболы у=ах^2+bх+с.
Если я решу эту, то и другая решится)))

[AKM]

Marisha,

прошу обратить внимание на наши правила.
В течение некоторого времени Вы можете исправить написание формул (используйте кнопку для редактирования своего сообщения).
Предъявите свои попытки решения.

Исправить Ваши формулы просто: $ AA_1+BB_1+CC_1=0 $ выглядит как $ AA_1+BB_1+CC_1=0 $. Уравнение параболы достаточно окружить знаками доллара.

[Sintanial]

1)x+y=1 - навртятли, так как мы находимся в пространстве трехмерном а вы в плоскости =)

[gris]

Sintanial, в трехмерном пространстве $x+y=1$ это уравнение плоскости, параллельной оси z .
Можно использовать расстояние от точки до прямой, приравняв его к единице.
Во второй задаче можно представить каждую биссектрису как сумму стороны, прилежащей к углу и части противолежащей стороны. Длина части определяется свойством биссектрисы делить сторону треугольника пропорционально другим сторонам.
В третьей задаче можно воспользоваться свойствами каждой точки параболы и определением фокуса и директрисы.

[Профессор Снэйп]

1) Поверните цилиндр $x^2 + y^2 = 1$, используя линейное преобразование координат.

2) Воспользуйтесь советом gris.

3) Все параболы подобны

[Marisha]

Marisha в сообщении #265869 писал(а):

$АА 1+ВВ 1+СС 1=0$

-- Сб ноя 28, 2009 15:47:16 --



-- Сб ноя 28, 2009 15:48:01 --

Marisha в сообщении #265869 писал(а):

$АА1+ВВ1+СС1=0$

-- Сб ноя 28, 2009 15:48:41 --

Marisha в сообщении #265869 писал(а):

$АА_1+ВВ_1+СС_1=0$

-- Сб ноя 28, 2009 15:49:32 --

Marisha в сообщении #265869 писал(а):

$ АА_1+ВВ_1+СС_1=0 $

[vvvv]

По первой задаче:
Проще всего уравнение искомого цилиндра представить в параметрическом ( векторном) виде, для чего:
- записать уравнение плоскости, проходящей через начало координать перпендикулярно оси искомого цилиндра
- в указанной плоскости взять два любых ортогональных единичных вектора
- записать уравнение цилиндрической поверхности (для чего все данные имеются)

[Gafield]

2 Marisha
Русских букв $\TeX$ в формулах так просто не понимает. Для переменных стоит использовать латинские.

[gris]

А чего все так не хотят расстояния? Пусть точка имеет координаты $(x;y;z)$. Квадрат проекции на вектор $(1;1;1)$ найдём. По теореме Пифагора найдём квадрат расстояния до оси. И вот оно уравнение.
(в общем, не дольше поворота. Но я с этими преобразованиями координат вечно путаюсь)

[ewert]

Параметрически -- это вот как. Сначала -- сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через начало координат:

$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0\end{cases}$

Потом -- параллельный сдвиг этой окружности вдоль оси цилиндра смещением каждой её точки на произвольный вектор $(t;t;t)$:

$\begin{cases}(x-t)^2+(y-t)^2+(z-t)^2=1 \\ x+y+z-3t=0\end{cases}$

И остаётся только исключить из этой системы параметр $t$, ну и упростить.

[gris]

Раз так, то и я нопейшу:

$x^2+y^2+z^2 -\frac13(x+y+z)^2=1$

[vvvv]

ewert в сообщении #265919 писал(а):

Параметрически -- это вот как. Сначала -- сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через начало координат:

$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0\end{cases}$

Потом -- параллельный сдвиг этой окружности вдоль оси цилиндра смещением каждой её точки на произвольный вектор $(t;t;t)$:

$\begin{cases}(x-t)^2+(y-t)^2+(z-t)^2=1 \\ x+y+z-3t=0\end{cases}$

И остаётся только исключить из этой системы параметр $t$, ну и упростить.

$\begin{cases}(x-t)^2+(y-t)^2+(z-t)^2=1 \\ x+y+z-3t=0\end{cases}$

И остаётся только исключить из этой системы параметр $t$, ну и упростить.[/quote]
Во-первых, первое уравнение в в первой системе - это не цилиндр, а сфера (хотя в сечении получаем нужную окружность)
Во-вторых, для получения окончательного уравнения нужно еще потрудиться и немало

Да, и вообще, уравнение цилиндра должно содержать два параметра, а у Вас получается один

[Marisha]

1. В формуле расстояния нужно знать ур-е, чтобы подставить координаты точки... Как его получить? Уравнение цилиндра не подойдет?
2.И что мне дадут уравнения биссектрис? Правильно определено соотношение АС1:ВС1=АС:СВ?

-- Сб ноя 28, 2009 16:51:45 --

Раз так, то и я нопейшу:...........
Это само уравнение?

[gris]

Не уравнения биссектрис, а их представления в векторной форме.
$\vec{AA_1}=\vec{AB}+\vec{BA_1}$

$|BA_1|:|A_1C|=|AB|:|AC|$

И не забудьте, что $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0$

Само, само. Не пишите формулы без $. Неэстетично. Вот так надо:

$|BA_1|:|A_1C|=|AB|:|AC|$

[ewert]

vvvv в сообщении #265927 писал(а):

Во-первых, первое уравнение в в первой системе - это не цилиндр, а сфера (хотя в сечении получаем нужную окружность)

А никто и не утверждал, что это цилиндр. Нужна была конкретная окружность; а уж как её описывать -- дело вкуса.

vvvv в сообщении #265927 писал(а):

Во-вторых, для получения окончательного уравнения нужно еще потрудиться и немало

Угу, две строчки -- это немало. Выразить параметр из одного уравнения и подставить в другое.

vvvv в сообщении #265927 писал(а):

Да, и вообще, уравнение цилиндра должно содержать два параметра,

Да хоть десять. Количество параметров равно количеству уравнений минус единичка.