Разминка для ферматиков

[shwedka]

ВТФ-штука трудная. Предлагаю любителям ВТФ
попробовать свои силы на похожей, но более простой задаче.

Найти все решения в натуральных числах $x,y,z,w$ уравнения


$x^y+(x+1)^z=(x+2)^w.$

Для начала рассмотрите случай $z>1$, он попроще. Здесь есть очевидныe решения
$1^y+2^3=3^2$, $3^2+4^2=5^2$. Других нет. Докажите.

Случай $z=1$ посложнее. Здесь натуральных решений, кроме $1^y+2^1=3^1,$ нет.

Прошу профессиональных математиков не предлагать решения. Тут развлекуха для ферматиков.

Личное. Этому уравнению была посвящена моя первая, написанная еще в школе, статья. Она была отвергнута редакцией журнала, и с решением редакции я согласилась.

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #265810 писал(а):

ВТФ-штука трудная.

Я так не считал, может быть, поэтому и нашёл простой путь доказательства.
shwedka. Мне непонятно, какое отношение Ваша "развлекуха" имеет отношение к ВТФ, чем она на неё похожа.

[meduza]

(Оффтоп)

Виктор Ширшов в сообщении #265813 писал(а):

Мне непонятно, какое отношение Ваша "развлекуха" имеет отношение к ВТФ.

После прочтения сообщения shwedka, я был почти уверен, что скоро появится какой-нибудь ферматик и скажет что-то типа "в гробу я видел ваши задачки", "есть поважнее дела, например доказательство ВТФ", "какое отношение это имеет к ВТФ?"... Интуиция меня не обманула!

[shwedka]

(Оффтоп)

Виктор Ширшов в сообщении #265813 писал(а):

Мне непонятно, какое отношение Ваша "развлекуха" имеет отношение к ВТФ, чем она на неё похожа.

Непонятно, так в Вашем праве задачу игнорировать. Мне, однако, представляется, что структурное сходство есть. Сумма двух степеней равна третьей. Оба уравнения-частный случай так называемого уравнения N.Terai, которому довольно много литературы посвящено.

Виктор Ширшов в сообщении #265813 писал(а):

Я так не считал, может быть, поэтому и нашёл простой путь доказательства.

Как-то незаметно, что нашли. Всякий раз, как от Вас требовалось что-то, действительно, доказать, Вы заявляли, что это Ваше 'слабое место.'

[Mathusic]

shwedka в сообщении #265810 писал(а):

ВТФ-штука трудная. Предлагаю любителям ВТФ
попробовать свои силы на похожей, но более простой задаче.

Найти все решения в натуральных числах $x,y,z,w$ уравнения


$x^y+(x+1)^z=(x+2)^w.$

Рассмотреть над $\mathbb{Z}_3$.
Так же можно предложить
$x^{k_0}+(x+1)^{k_1}+...+(x+(n-2))^{k_{n-2}}=(x+(n-1))^{k_{n-1}}.$

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #265810 писал(а):

Прошу профессиональных математиков не предлагать решения.

shwedka. Вы думаете, они их найдут? Почти четыреста лет не только ферматики, но и профессионалы ищут решение более простого по структуре уравнения, а Вы хотите, чтобы Вам тотчас же выдали решение приведённого уравнения.

shwedka в сообщении #265810 писал(а):

Тут развлекуха для ферматиков.

Сначала разогнали, теперь пытаетесь собрать.

Вообще-то мне представляется, что в этой самой "развлекухе для ферматиков" существует скрытый смысл: будто бы Ваши оппоненты на этом форуме доказывают всё что угодно, только не ВТФ.

[shwedka]

(Оффтоп)

Виктор Ширшов в сообщении #266150 писал(а):

Вы думаете, они их найдут?

Могут и найти. Здесь ничего сверхсложного нет.

Почти четыреста лет не только ферматики, но и профессионалы ищут решение более простого по структуре уравнения,

Уравнение Ферма, возможно, и проще по структуре, но сложнее по существу. А профессионалы уже не ищут. Доказательство есть и общепризнано. Входит, например, в моем университете, в курс для аспирантов.

а Вы хотите, чтобы Вам тотчас же выдали решение приведённого уравнения.

А кто сказал про тотчас же? И не хочу. Просто предлагаю попробовать силы. Только для желающих. Но, повторяю, это в силах неспециалиста.

Для первого случая доказательство занимает всего неполных три страницы. Для второго-восемь.

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #266155 писал(а):

Уравнение Ферма, возможно, и проще по структуре, но сложнее по существу. А профессионалы уже не ищут. Доказательство есть и общепризнано. Входит, например, в моем университете, в курс для аспирантов.

По-видимому, Вы говорите о доказательстве на 120 страницах.

shwedka в сообщении #265810 писал(а):

Личное. Этому уравнению была посвящена моя первая, написанная еще в школе, статья.

Если Вы решили данное уравнение, то будьте уверены и "неспециалисты" решат. Может быть, даже их решение и доказательство будет проще Вашего.

[shwedka]

(Оффтоп)

Виктор Ширшов в сообщении #266163 писал(а):

Если Вы решили данное уравнение, то будьте уверены и "неспециалисты" решат. Может быть, даже их решение и доказательство будет проще Вашего.

Будет очень приятно увидеть.

А доказательство ВТФ в этой теме я обсуждать не намерена

[Mathusic]

Кстати, shwedkа, как я понял вы нуль 0 относите к натуральным, в российских же натуральных, у Вас получается египетская тройка.

[shwedka]

Mathusic в сообщении #266221 писал(а):

как я понял вы нуль 0 относите к натуральным

Обясните Ваш ход мыслей, как Вы это поняли.

[serval]

2 shwedka

Цитата:

уравнения N.Terai

Не могли бы вы дать ссылку на материалы? Лучше русскоязычные.

[shwedka]

serval
Ссылки послала в ЛС. По-русски нет.

[Mathusic]

shwedka в сообщении #266227 писал(а):

Mathusic в сообщении #266221 писал(а):

как я понял вы нуль 0 относите к натуральным

Обясните Ваш ход мыслей, как Вы это поняли.

Никак, померещилось.

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #266155 писал(а):

Уравнение Ферма, возможно, и проще по структуре, но сложнее по существу. А профессионалы уже не ищут. Доказательство есть и общепризнано. Входит, например, в моем университете, в курс для аспирантов.

shwedka. Почему тогда так активно обсуждаете доказательства ВТФ, если оно уже "есть и общепризнанно". Вы не сказали, чьё "доказательство" включили в курс для аспирантов Вашего университета.