Функции Римана и Дирихле

[Niclax]

Извиняюсь за глупые вопросы:
Чему равно множество точек разрыва функций Дирихле и Римана и почему?
Где интегрируема функция Римана?

[ewert]

у Римана разрывами являются все рациональные точки и только они, у Дирихле -- вообще все точки.
Функция Римана интегрируема везде.

См. http://dxdy.ru/topic14828.html

[Niclax]

ewert
Почему у функции Римана разрывы только в рациональных точках, а не везде как у Дирихле? Я не понимаю

[id]

Это есть в Фихтенгольце. Первый том, страница 154.

-- Чт ноя 26, 2009 22:55:11 --

Конец пункта 70.

[AD]

Niclax в сообщении #265584 писал(а):

Почему у функции Римана разрывы только в рациональных точках, а не везде как у Дирихле? Я не понимаю

(Оффтоп)

Эту задачу Вам дали как раз для того, чтобы Вы поняли. И понять Вам надо прежде всего то, что в определении непрерывной функции на языке $\varepsilon$-$\delta$ записано гораздо больше, чем просто наши наглядные представления о непрерывности. Оно даёт точные ответы даже тогда, когда интуиция отказывает. То есть всегда есть грань, за которой кончается воля человека, и начинают работать внутренние законы логики. Если Вы сейчас совершите усилие, и произведёте соответствующий поворот сознания, то поймёте, что такое математика

Ладно, пока что у меня есть настроение объяснить еще раз, хотя тут где-то более подробная тема валялась. Вот Вы взяли иррациональную точку $x$ (в ней обе функции равны нулю) и число $\varepsilon>0$. Скажем, $\varepsilon=1/3$. И определение непрерывной функции заставляет Вас искать такое $\delta>0$, чтобы в $\delta$-окрестности $x$ функция была по модулю меньше, чем $\varepsilon=1/3$. Для функции Дирихле такого $\delta$ найти не удастся: в любой окрестности $x$ содержится куча точек, в которых функция равна единице. А вот с функцией Римана ситуация другая: там точек, в которых она по модулю $\ge 1/3$, совсем мало - можно по пальцам пересчитать: $1$, $1/2$, $1/3$, $2/3$.
И $\delta=\min\{|x-1|,|x-1/2|,|x-1/3|,|x-2/3|\}$ оказывается настолько хорошим, что ни одна из плохих точек не попадает в окрестность.
Собственно, всё. То есть я просто аккуратно, с карандашиком, прочитал определение непрерывной функции, и тупо проверил, что оно в одном случае не выполнено заведомо, а в другом случае в ну очень частном случае Вам показал, как можно его проверять.

[Niclax]

AD
Большое спасибо!