2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 14:48 


21/12/08
130
На отрезок [0,1] случайно бросили 100 точек. Найти мат.ожидание 17-ого слева отрезка.
Я нашел мат.ожидание самого правого отрезка, и наверное (есть сомнения) самого левого. А дальше не знаю как...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Если бросали равномерно, то чисто по зравому смыслу матожидаемое положение этой точки делит отрезок в определённом оношении. Нарисуйте рисунок для 4 точек и увидите решение для 100

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 15:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #265489 писал(а):
то чисто по зравому смыслу матожидаемое положение этой точки делит отрезок в определённом оношении.

Хм. И как тут сработает здравый смысл (и какой предполагался ответ)?

По-моему, если исходить именно из здравого смысла -- то проще назвать матожидание как раз не координаты точки, а сразу длины отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Ну вот для четырёх точек я думаю матожидания будут равны 0,125; 0,375; 0,625; 0,875.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
0.200; 0.400; 0.600; 0.800.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
А если замкнуть отрезок в окружность? Изоморфизьм будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Будет, но не сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Если на отрезок бросить одну точку, то матожидание её координаты будет 0,5.

А если две? Неужели 1/3 и 2/3? Не 0,25 и 0,75?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:43 


02/11/08
1193
G_Ray в сообщении #265484 писал(а):
На отрезок [0,1] случайно бросили 100 точек. Найти мат.ожидание 17-ого слева отрезка...

Мат. ожидание отрезка - это мат. ожидание длины отрезка? Или чего какой-то другой величины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
G_Ray
Вам нужно найти распределение порядковых статистик. Я отвечал об этом в теме http://dxdy.ru/topic6563.html. Там только для другого распределения, но для равномерного еще проще. Это известный вопрос и ответ на него Вы наверняка найдете, поискав в интернете по ключевым словам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Сдаюсь. Проверил в Excel на 1000 бросаний. Действительно для левой точки матожидание 1/3. Что не отменяет моего первоначального мнения о здравом смысле и делении отрезка в определённом отношении.
Кроме того, у автора скорее всего идёт речь о середине 17-го отрезка, а не о 17-той точке. Я перепутал немножко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей
Сообщение26.11.2009, 17:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Во-первых, можно тупо поскладывать-поинтегрировать соответствующие биномиальные вероятности. Например, если случайная величина $X_{17}$ -- это координата 17-й слева точки, то $F_{X_{17}}(x)=P(X_{17}<x)$ -- это вероятность того, что на участок длины $(1-x)$ справа попадут не более 83-х точек.

Во-вторых -- то же, но с привлечением жульничества. Постановка опыта равносильна следующему. Берём окружность единичной длины вместо отрезка. Сперва бросаем наугад на неё одну точку и называем её началом координат (в котором сходятся концы отрезка). Потом бросаем оставшиеся 100 точек. Потом ставим исходный вопрос.

Поскольку по условиям проведения опыта первая точка всё-таки ничем не отличается от остальных -- все отрезки на окружности (между всеми 101 точками) тоже равноправны. Следовательно, матожидание длины для каждого отрезка одно и то же -- и, следовательно, равно 1/101.
Но тогда матожидание координаты первой точки равно 1/101, второй -- 2/101 и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group