Теория Вероятностей

[G_Ray]

На отрезок [0,1] случайно бросили 100 точек. Найти мат.ожидание 17-ого слева отрезка.
Я нашел мат.ожидание самого правого отрезка, и наверное (есть сомнения) самого левого. А дальше не знаю как...

[gris]

Если бросали равномерно, то чисто по зравому смыслу матожидаемое положение этой точки делит отрезок в определённом оношении. Нарисуйте рисунок для 4 точек и увидите решение для 100

[ewert]

gris в сообщении #265489 писал(а):

то чисто по зравому смыслу матожидаемое положение этой точки делит отрезок в определённом оношении.

Хм. И как тут сработает здравый смысл (и какой предполагался ответ)?

По-моему, если исходить именно из здравого смысла -- то проще назвать матожидание как раз не координаты точки, а сразу длины отрезка.

[gris]

Ну вот для четырёх точек я думаю матожидания будут равны 0,125; 0,375; 0,625; 0,875.

[ewert]

0.200; 0.400; 0.600; 0.800.

[gris]

А если замкнуть отрезок в окружность? Изоморфизьм будет?

[ewert]

Будет, но не сразу.

[gris]

Если на отрезок бросить одну точку, то матожидание её координаты будет 0,5.

А если две? Неужели 1/3 и 2/3? Не 0,25 и 0,75?

[Yu_K]

G_Ray в сообщении #265484 писал(а):

На отрезок [0,1] случайно бросили 100 точек. Найти мат.ожидание 17-ого слева отрезка...

Мат. ожидание отрезка - это мат. ожидание длины отрезка? Или чего какой-то другой величины?

[PAV]

G_Ray
Вам нужно найти распределение порядковых статистик. Я отвечал об этом в теме http://dxdy.ru/topic6563.html. Там только для другого распределения, но для равномерного еще проще. Это известный вопрос и ответ на него Вы наверняка найдете, поискав в интернете по ключевым словам.

[gris]

Сдаюсь. Проверил в Excel на 1000 бросаний. Действительно для левой точки матожидание 1/3. Что не отменяет моего первоначального мнения о здравом смысле и делении отрезка в определённом отношении.
Кроме того, у автора скорее всего идёт речь о середине 17-го отрезка, а не о 17-той точке. Я перепутал немножко.

[ewert]

Во-первых, можно тупо поскладывать-поинтегрировать соответствующие биномиальные вероятности. Например, если случайная величина $X_{17}$ -- это координата 17-й слева точки, то $F_{X_{17}}(x)=P(X_{17}<x)$ -- это вероятность того, что на участок длины $(1-x)$ справа попадут не более 83-х точек.

Во-вторых -- то же, но с привлечением жульничества. Постановка опыта равносильна следующему. Берём окружность единичной длины вместо отрезка. Сперва бросаем наугад на неё одну точку и называем её началом координат (в котором сходятся концы отрезка). Потом бросаем оставшиеся 100 точек. Потом ставим исходный вопрос.

Поскольку по условиям проведения опыта первая точка всё-таки ничем не отличается от остальных -- все отрезки на окружности (между всеми 101 точками) тоже равноправны. Следовательно, матожидание длины для каждого отрезка одно и то же -- и, следовательно, равно 1/101.
Но тогда матожидание координаты первой точки равно 1/101, второй -- 2/101 и т.д.