компакт в счетно нормированном пространстве

[terminator-II]

$(E,\{\|\cdot\|_k\}_{k\in \mathbb{N}})$ -- отделимое счетно нормированное пространство; $K\subset E$ -- компакт
Доказать, что
существует линейное пространство $F\subseteq E,\quad K\subset F$ на
котором определена норма $\|\cdot\|$ такая, что вложение
$(F,\|\cdot\|)\to (E,\{\|\cdot\|_k\}_{k\in \mathbb{N}})$
непрерывно и является гомеоморфизмом между $K$ c топологией, индуцированной нормой
$\|\cdot\|$,
и $K$ с топологией, индуцированной полунормами $\{\|\cdot\|_k\}_{k\in \mathbb{N}}$

[id]

Хм, интересная задачка. В качестве пространства, допустим, линейную оболочку можно взять.
А вот как задать ограниченную окрестность нуля ( для новой топологии ), чтобы выполнялись хотя бы условия критерия Колмогорова?

В общем, интересно бы на авторское решение посмотреть ( ну, если никто не решит ).

[terminator-II]

Я еще поинтригую пока. Вот теорема Шаудера-Тихонова о неподвижной точке основана на лемме Цорна. Причем доказательство там такое, что от леммы Цорна избавитться невозможно в принципе даже если пространство счетно нормированное (даже если оно конечномерное). А с помощью этого утверждения, в случае счетнонормированного пространства, теорема Шаудера-Тихонова сразу следует из теоремы Шаудера.

[id]

terminator-II
Мне ( да и не только, наверно ) кажется, что Вы уже очень даже поинтриговали!
Было бы интересно и на решение посмотреть, если никто не возражает.

[terminator-II]

в качестве $F$ действительно надо брать линейную оболочку компакта

$$\|\cdot\|=\sum_{k=1}^\infty\frac{\|\cdot\|_k}{m_k2^k},\quad m_k=\max\{1,\max_{x\in K}\|x\|_k\}$$